Isomorphisme de l'algèbre C *

Question

J'ai deux unital $C^*$ algèbres $A$ et $B$. Laisser$X\subset A$ et $Y\subset B$ être tel que la durée $X$ et span $Y$ sont des sous-algèbres denses * de $A$ et $B$respectivement. J'ai une carte$\Psi: Span ~X \to Span ~Y$qui est un * -homomorphisme. J'ai aussi une carte$\Phi: Span ~Y \to Span ~X $ tel que $\Phi\circ \Psi=id$. Puis-je conclure que$\Psi$ s'étend à un isomorphisme entre $A$ et $B$?

Answer 1

Non parce que $\Psi$peut ne pas être une contraction. Laisser$A=B=C[0,2]$, et $X=\mathbb C[x]$, $Y=\mathbb C[x^3]$. Les deux sont denses par Stone-Weierstrass. Laisser$\Psi:X\to Y$ être donné par $(\Psi f)(x)=f(x^3)$. ensuite$\Psi$ est un inversible $*$-isomorphisme. Et avec$f(x)=x^n$, $$\frac{\|\Psi f\|}{\|f\|}=\frac{2^{3n}}{2^n}=4^n.$$ Donc $\Psi$ est illimité.