La séquence entière A178157

Question

http://oeis.org/A178157

A178157 est une séquence de nombres qui décrit les nombres qui sont divisibles par tous leurs préfixes. Par exemple, 2020 est dans la séquence parce que 2020 est divisible par 2, 20 et 202 (et 2020). Cependant, j'ai remarqué qu'après 100, tous les nombres de la séquence se terminent par un zéro. Ma question est donc la suivante : y a-t-il un nombre dans la séquence A178157 supérieur à 100 qui ne se termine pas par un zéro?

Mes propres progrès:

Un de mes amis a écrit un code et vérifié tous les nombres jusqu'à 100 millions sans succès. Y a-t-il une preuve que tous les nombres supérieurs à 100 dans cette séquence doivent se terminer par un zéro?

La seule piste à laquelle je pouvais penser en essayant de le prouver était que le nombre ne devait pas non plus contenir de zéros car il y aurait un suffixe qui se terminerait par un zéro.

Fait intéressant, il existe une séquence similaire, A178158, qui regarde les suffixes au lieu des préfixes, et il y a beaucoup de grands nombres dans la séquence qui ne contiennent pas de zéros, par exemple, 53125 est divisible par 5, 25, 125, 3125 , (et 53125). Aucun des nombres de cette séquence ne se termine par un zéro, ce qui est beaucoup plus facile à prouver, car le premier préfixe est zéro et vous ne pouvez pas diviser par zéro.

Answer 1

La réponse est que tout nombre de trois chiffres ou plus doit se terminer par $0.$

Si $n\geq 10$ Puis pour $10n+d$ être divisible par $n,$ vous devez avoir $d$ divisible par $n.$ Mais si $d$ est un chiffre, alors $0\leq d<10\leq n,$ donc le seul possible $d$ est $0.$

Cet argument fonctionne dans n'importe quelle base.

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Comme Ross l'a mentionné dans les commentaires, si le nombre a $2k+1,$ ou plus de chiffres, il doit se terminer par $k$ des zéros.

Cela peut être vu par un argument similaire, ou en utilisant base $10^k,$ notant que tout nombre qui satisfait la propriété de base $10$ est aussi un nombre pour la base $10^k,$ et un nombre avec $2k+1$ ou plus de chiffres dans la base $10$ est $3$ ou plus de chiffres dans la base $10^k.$

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Sans rapport avec la question, mais étant donné un tel nombre, non seulement nous pouvons ajouter des zéros à la fin, mais nous pouvons également ajouter des zéros juste avant le dernier chiffre différent de zéro. Autrement dit, si$$n=d_1d_2d_3\dots d_k\underbrace{0\dots0}_{p\text{ times}}$$ alors nous pouvons trouver un nombre non nul de $0$ ajouter entre $d_{k-1}$ et $d_k.$

Plus précisément, $$n_1=d_1\dots d_{k-1}\underbrace{0\dots 0}_{m\text{ times}} d_k$$ puis $$10^{m+1}n-n_1=d_k(10^{m+1}-1)\cdot 10^p$$

Maintenant si $f(N)$ est le nombre de $N$ avec tous les facteurs de $2$ et $5$ supprimé, vous pouvez définir $$D=\operatorname{lcm}\left(f(d_1),f(d_1d_2),\cdots,f(d_1d_2\dots d_{k-1})\right)$$

Ensuite, vous pouvez définir $m$ être un moins de l'ordre de $10$ modulo $D.$

Par exemple, avec $n=14490000$ tu as $$\operatorname{lcm}\left(f(1),f(14),f(144)\right)=\operatorname{lcm}(1,7,9)=63.$$

L'ordre de $10$ mod $9$ est $1,$ donc vous avez juste besoin de l'ordre de $10$ mod $7,$ et c'est $6$, et $m$ est $5.$ Ensuite:

$$144000009\cdot 10^9$$

Vous devez également remplir le côté droit avec des zéros.