Notation, description des composants des matrices

Question

Je travaille sur mon mémoire de maîtrise et j'ai du mal à décrire précisément certaines matrices qui sont assemblées de manière étrange. Je voulais demander de l'aide pour ne pas faire d'erreur ici.

Généralement, ma matrice a les dimensions suivantes

$$ \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{M \times 2+2J} $$

Cette matrice est composée de$2+2J$variables ou tableaux d'une longueur de$M$. Deux variables sont des scalaires auxquels je me réfère tout au long de ma thèse :

$$ R_d \in \mathbb{R}^{1}, \quad g \in \mathbb{R}^{1} $$

Cependant, deux autres variables elles-mêmes sont des tableaux avec$J$variables. Ils sont donnés avec :

$$ \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{J}, \quad \mathbf{q} \in \mathbb{R}^{J} $$

Maintenant, je voudrais décrire mathématiquement comment$\mathbf{X}$est structuré. Je pensais qu'on pourrait le décrire comme suit :

$$ \mathbf{X} = [Rd\; g \; \mathbf{p}\; \mathbf{q} ] \in \mathbb{R}^{M \times 2+2J} $$

Je ne sais pas si c'est mathématiquement correct car il me manque la première dimension dans les variables membres. Existe-t-il une meilleure notation pour décrire la structure de$\mathbf{X}$? Que se passe-t-il lorsque les dimensions doivent être inversées ? Je suppose que lorsque je liste les membres entre crochets, cela se rapporte à la première dimension$M$à la place de$2 + 2J$.

Une description alternative pourrait ressembler à ceci :

$$ \mathbf{X} = [R_{d,m}\; g_m \; \mathbf{p}_m\; \mathbf{q}_m ] \in \mathbb{R}^{2+2J \times M} $$

avec$g_m \in \mathbb{R}^{M}$ou alors$\mathbf{q}_m in \mathbb{R}^{M \times J}$. (A également inversé les dimensions de$\mathbf{X}$.) Serait-ce une notation plus précise ?

Answer 1

Ce que vous décrivez est communément appelé une matrice de blocs.$$ X = \bigg[ \begin{array}{c|c|c|c} P & Q & \mathbf{r} & \mathbf{g} \end{array} \bigg] $$avec des matrices$P\in{\mathbb{R}^{m\times j}}$et$Q\in\mathbb{R}^{m\times j}$, et vecteurs$r\in\mathbb{R}^m$, et$g\in\mathbb{R}^m$

Si vous écrivez pour un public qui n'est pas familier avec cette notation, vous pouvez ajouter le verbeux mais explicite :

$$ X = \left[ \begin{array}{cccc|cccc|c|c} p_{11} &p_{12} &\cdots & p_{1j} & q_{11} &q_{12} &\cdots & q_{1j} & r_1 & g_1 \\ p_{21} &p_{22} &\cdots &p_{2j} & q_{21} &q_{22} &\cdots &q_{2j} & r_2 & g_2 \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{mj} & q_{m1} & q_{m2} & \cdots & q_{mj} & r_m & g_m \end{array} \right] $$

Pour plus d'exemples sur la façon d'écrire des matrices de blocs, voir :https://wp.kntu.ac.ir/hadizadeh/pdf/latex/lesson_12[1].pdf