Opérateur compact avec inverse continu

Question

Laisser $K:E \rightarrow E$ être un opérateur compact sur un espace normé $E$. Laisser$R^q$ être la gamme de $(\lambda I-K)^q$ où $q$ est telle que $R^n = R^q$ pour tous $n \geq q$. Aussi, la restriction$(\lambda I - K)|_{R^q}$a un inverse. Prouvez que l'inverse de cette restriction$(\lambda I-K)|_{R^q}^{-1}$ est continue.

Puisqu'il s'agit d'opérateurs linéaires, continu équivaut à borné. Alors,$(\lambda I -K)$ est continue (parce que $K$est compact), puis borné. Par conséquent, il y a un$C > 0$ tel que $||(\lambda I - K)x|| \leq C ||x||$. Le seul indice que j'ai, c'est que je dois prouver qu'il y a un$C_2>0$ tel que $$||(\lambda I - K)x|| \geq C_2 ||x||.$$Mais je ne vois pas pourquoi cela prouve cette affirmation. Puisque je travaille avec la restriction de$R^q$, $x \in R^q$ alors $(\lambda I -K)x = (\lambda I -K)(\lambda I -K)^q y$ pour certains $y \in E$. Mais depuis$R^q = R^{q+1}$, $(\lambda I -K)x = (\lambda I -K)^q z$ pour certains $z \in E$. Et maintenant je suis coincé. Ensuite, j'ai essayé d'écrire$x = (\lambda I-K)^{-1}[(\lambda I-K)x]$mais je n'ai rien obtenu. Un indice? Merci

Answer 1

Je suppose $\lambda$est supposé être différent de zéro, correct? Si c'est le cas,$\lambda I-K$ est un opérateur de Fredholm sur $R^q$dont l'indice est nul. Depuis l'index d'un opérateur Fredholm$T$ est défini par $$\text{ind}(T)= \text{dim}(\text{Ker}(T)) - \text{codim}(\text{Ran}(T)), $$ et depuis $\lambda I-K$ est sur $R^q$ par l'hypothèse que $R^q=R^{q+1}$, on en déduit que $\lambda I-K$ est un à un, et donc inversible sur $R^q$.

Il est également bien connu que la plage d'un opérateur Fredholm est toujours fermée, donc $R^q$est fermé, et donc un espace Banach. Enfin, depuis$\lambda I-K$ est inversible sur $R^q$, le théorème de mappage ouvert implique que $(\lambda I-K)^{-1}$ est continu sur $R^q$.

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PS: Je me rends compte qu'il pourrait y avoir des résultats plutôt sophistiqués utilisés ici, alors n'hésitez pas à me demander si vous souhaitez que je sois plus explicite avec l'une des déclarations ci-dessus.