Probabilité de lancer des dés

Question

J'ai du mal à trouver une réponse au problème ci-dessous Dice -

Je lance un dé juste 6 fois.

(a) Quelle est la probabilité que trois des six résultats possibles n'apparaissent pas et que chacun des trois autres résultats possibles apparaisse deux fois?

(b) Quelle est la probabilité qu'un résultat apparaisse au moins trois fois?

La réponse à la 1ère question est donnée comme $$\frac{\binom{6}{3}\binom{6}{2}\binom{6}{2}\binom{6}{2}}{6^6}$$

Cependant, je n'ai pas trouvé d'explication intuitive pour répondre aux 2 questions ci-dessus.

Pouvez-vous m'aider à les expliquer?

Tout pointeur sera très apprécié.

Answer 1

Partie (a): La réponse que vous avez fournie est incorrecte. Ça devrait être

$$ \frac{\binom{6}{3} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{6^6} .$$

Voici quelques explications. Il y a$6^6$total des résultats possibles, c'est donc le dénominateur. Le numérateur doit être le nombre de résultats où seulement$3$ les chiffres viennent pendant la $6$ rouleaux, chaque numéro apparaissant deux fois.

Il y a $\binom{6}{3}$ façons de choisir lequel $3$les résultats apparaissent sur les dés. Dites que ces résultats sont$a,b,c$. Nous voulons attribuer les lettres$a,a,b,b,c,c$ aux six "slots"

$$\_, \_, \_, \_, \_, \_ .$$

Il y a $\binom{6}{2}$ façons de choisir les emplacements pour mettre les deux $a$s in. Ensuite, il y a $\binom{4}{2}$ façons de choisir les emplacements pour $b$le sable $\binom{2}{2}$ moyens pour le $c$s.

Partie (b): Voici un indice. Tout d'abord, choisissez quel résultat apparaît trois fois ou plus. Ensuite, calculez la probabilité que ce résultat apparaisse exactement $3$fois. Ensuite, calculez les probabilités que ce résultat apparaisse exactement $4, 5, 6$fois. Enfin, additionnez ces probabilités.

Pour calculer la probabilité que ce résultat apparaisse exactement $3$ fois, pensez à allouer d'abord les emplacements pour $3$ des copies de ce résultat apparaissent, puis réfléchissez à la façon de remplir les trois emplacements restants.

(Edit: Il y a une subtilité délicate pour la probabilité que le résultat apparaisse exactement $3$fois. Vous devez vous assurer de ne pas surestimer les possibilités où il y a deux résultats, appelez-les$a$ et $b$, dont chacun apparaît $3$ fois.)

Answer 2

(b) La probabilité d'obtenir quelque chose qui apparaît moins de 3 fois est $1-((\frac{1}{6})^6*6+(\frac16)^5(\frac56)*6*6+(\frac16)^4(\frac56)^2*6*15)=\frac{3685}{3888}$