Puis-je utiliser une variable exogène de mon modèle comme variable instrumentale?

Question

Puis-je utiliser une variable exogène spécifiée dans mon modèle comme instrument pour une variable endogène?

On peut penser qu'il existe une relation entre les deux.

Ma conjecture est la suivante:

• Étant donné que la variable exogène est incluse dans le modèle, son effet sur la variable dépendante est pris en compte et, par conséquent, il ne sera pas contenu dans le terme d'erreur. Cela répond à l'exigence d'exogénéité des instruments valides.

Est-ce correct et est-ce possible?

Answer 1

Cela ne marcherait pas.

Disons que les régresseurs sont $x_1$ et $x_2$. $x_1$ est endogène, et $x_2$est un contrôle exogène. Vous êtes intéressé par l'inférence causale pour$x_1$. Ce que vous proposez, c'est d'instrumenter$x_1$ avec $z = x_2$.

La procédure 2SLS proposée est alors la suivante. Dans la première étape, vous régresseriez$x_1$ sur $z$ et $x_2$ obtenir $\hat{x}_1$ et régresser $x_2$ sur $z$ et $x_2$ obtenir $\hat{x}_2 = x_2$.

Dans ce cas, la régression de $x_1$ sur $z$ et $x_2$ serait trivialement multi-colinéaire, et $\hat{x}_1$ est juste donné en régressant $x_1$ sur $x_2$---c'est à dire $\hat{x}_1$ est un multiple scalaire $x_2$.

Donc, la deuxième étape de régression, où vous régressiez normalement $y$ sur $\hat{x}_1$ et $\hat{x}_2$, est à nouveau trivialement multi-colinéaire. Vous régresseriez$y$ sur seulement $x_2$---tu as perdu $x_1$, le régresseur qui vous intéresse, complètement.

Empiriquement parlant, une variable ne peut pas servir à la fois de contrôle et d'instrument.

Un instrument $z$ canalise sa variation exogène par sa corrélation avec $x_1$(notez que cette déclaration contient les deux conditions pour un instrument valide). Maintenant si vous avez un contrôle$x_2$ dans la régression, alors $z$ doit avoir une certaine variation résiduelle après avoir contrôlé $x_2$. Évidemment,$x_2$ n'a pas de variation après avoir contrôlé $x_2$. C'est le problème.

(De manière encore plus informelle, ce que vous proposez serait une solution universelle pour trouver des instruments. De toute évidence, cela ne peut pas être le cas.)

Answer 2

Disons que votre modèle est $y=\beta_0+\beta_1x_1+\dots+\beta_kx_k+u$. Si$\text{Cov}(x_j,u)=0$ pour $j=1,\dots,k-1$, mais $\text{Cov}(x_k,u)\ne 0$, vous pouvez remplacer $x_k$ avec une autre variable $z_1$ si:

• $z_1$ est exogène, donc $\text{Cov}(z,u)=0$;
• $z_1$est partiellement corrélé avec$x_k$, une fois les autres variables exogènes $x_1,\dots,x_{k-1}$ ont été éliminés, c.-à-d. $$x_k=\delta_0+\delta_1x_1+\dots+\delta_{k-1}x_{k-1}+\theta_1 z_1+r$$ le coefficient de $z_1$est différent de zéro (Jeffrey M. Wooldridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data , MIT Press, 2010, pp. 89-90).

Vous ne pouvez pas tester la première condition, mais vous pouvez et devriez tester la deuxième condition (Wooldridge, p. 92).