Résolvez cette intégrale $\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$
Notons
$$I_{m,n} = \int \sin^m{x} \cos^n{x}\ dx$$
où $m,n$ sont des nombres entiers (éventuellement négatifs ou zéros).
Il existe des formules récurrentes bien connues pour $I_{m,n}$
Donc ... à titre d'exemple, j'essayais de résoudre cette intégrale particulière
$$\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$$
en utilisant ces formules récurrentes et j'ai finalement eu cette réponse
(les calculs n'étaient pas très longs, juste 1 ou 2 feuilles A4):
$$F(x) = \frac{5}{8} \ln {|\tan \frac{x}{2}|} - \frac{5}{24} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^4{x}}$$
Mais WA ne me donne pas une expression simple quand je différencie $F(x)$
Ma réponse est-elle incorrecte? Comment puis-je le vérifier avec un outil autre que WA?
Des idées comment vérifier?
EDIT: Maintenant, j'ai résolu les problèmes dans mes calculs et j'obtiens cette réponse.
$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$
Mais cela ne correspond toujours pas à la réponse WA ...
Réponse WA
Lequel est correct ici?
Réponses
Vous avez fait une erreur quelque part. De WA et après simplifications, vous devriez avoir (ce que j'obtiens):
$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$
Faites le moi savoir!
Je pense que le $24\ln|\tan(\frac{x}{2})|$ est clair et nous l'avons multiplié par $\frac{1}{64}$ pour donner le terme correct.
Puis réécrivez les termes restants (de WA) comme suit:
$$\frac{1}{64}\big[-\frac{1}{\sin^{4}(\frac{x}{2})}-\frac{6}{\sin^{2}({\frac{x}{2})}}+\frac{1}{\cos^{4}(\frac{x}{2})}+\frac{6}{\cos^{2}({\frac{x}{2})}}\big]$$ $$=\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]+\frac{1}{64}\big[\frac{\sin^{4}(\frac{x}{2})-\cos^{4}(\frac{x}{2})}{\sin^4({\frac{x}{2})\cos^{4}(\frac{x}{2})}}\big].$$
Puis en utilisant $\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)$ et $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ le premier terme devient:
$$\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]=-\frac{3}{32}\big[\frac{\cos(x)}{\frac{\sin^{2}(x)}{4}}\big]=-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}.$$
Pour l'autre terme que nous avons (le numérateur est de la forme $(A^2-B^2)=(A-B)(A+B)$):
$$-\frac{1}{64}\big[\frac{\cos^{2}(\frac{x}{2})-\sin^2({\frac{x}{2})}}{\frac{\sin^{4}(x)}{2^4}}\big]=-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}.$$
Utilisation $$\frac{1}{\sin^5x}dx=\frac{\sin{x}}{(1-\cos^2x)^3}dx=-\frac{d(\cos{x})}{(1-\cos^2x)^3}$$
Vous rationalisez par le simple changement de variable $t:=\cos x$:
$$\int\frac{dt}{(1-t^2)^3}.$$
La décomposition de fraction partielle est
$$\frac3{16(1+t)}-\frac3{16(1-t)}+\frac3{16(1+t)^2}+\frac3{16(1-t)^2}+\frac1{8(1+t)^3}-\frac1{8(1-t)^3}$$ et ne cause aucune difficulté.
$$\frac3{16}\log(1-\cos^2x)-\frac3{8(1-\cos^2 x)}+\frac{1+\cos^2x}{8(1-\cos^2 x)^2}.$$
Wolfram Alpha est d'accord avec vous. Vous venez de taper les coefficients de manière erronée lors de la spécification de la primitive putative que vous vouliez différencier. Il m'a fallu quelques essais avec les crochets pour comprendre la requête corrigée.
Je voudrais suggérer une autre méthode: la formule de réduction de la cosécante (vous savez que $1$ sur sinus est la fonction cosécante):
$$\int \csc^m(x)\ \text{d}x = -\dfrac{\cos(x)\csc^{m-1}(x)}{m-1} + \frac{m-2}{m-1}\int \csc^{m-2}(x)\ \text{d}x$$
Utilisez-le deux fois.
Au cours du processus, vous devrez intégrer la cosécante elle-même, qui est une intégrale bien connue:
$$\int \csc(x)\ \text{d}x = -\ln(\cot(x) + \csc(x))$$
Et finalement le résultat est:
$$-\frac{1}{64} \csc ^4\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{3}{32} \csc ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{64} \sec ^4\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{32} \sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{8} \log \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{3}{8} \log \left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$$