Solution de forme fermée pour une relation de récurrence

Question

Nous commençons par: $a_n = 3a_{n-1} - 7, a_0 = 2$. Est-ce que ce qui suit est valide?

$$a_{n-1} = 3(3a_{n-2}-7)-7 \\ a_{n-1} = 3^2a_{n-2}-(3\cdot-7) - 7 \\ \vdots \\ a_k = 3^ka_{n-k} -(3^{k-1}\cdot-7) \cdots -7\\ \text{Let $k = n$} \\ a_n = 3^ka_0 - (3^{n-1}\cdot-7)-\cdots-7$$

Je ne sais pas où aller d'ici. Est-ce que je ferais un formulaire fermé à partir de cela?

Answer 1

Comme Greg Martin l'a déjà souligné, votre formulaire fermé ne peut pas être correct, car il ne satisfait pas la récurrence. Vous pouvez également voir s'il génère les bonnes valeurs pour$a_1,a_2$, et $a_3$, disons, et constatez que non.

Il existe un moyen légèrement meilleur d'organiser ce type de `` déroulement '' d'une simple récurrence, mais assurez-vous de faire correctement l'algèbre:

$$\begin{align*} a_n&=3a_{n-1}-7\\ &=3(3a_{n-2}-7)-7\\ &=3^2a_{n-2}-3\cdot7-7\\ &=3^2(3a_{n-3}-7)-3\cdot7-7\\ &=3^3a_{n-3}-3^2\cdot7-3\cdot7-7\\ &\;\;\vdots\\ &=3^ka_{n-k}-7\sum_{i=0}^{k-1}3^i\\ &\;\;\vdots\\ &=3^na_0-7\sum_{i=0}^{n-1}3^i\\ &=2\cdot3^n-7\cdot\frac{3^n-1}{3-1}\\ &=2\cdot3^n-\frac{7\cdot3^n-7}2\\ &=\frac12(7-3\cdot3^n)\\ &=\frac12(7-3^{n+1}) \end{align*}$$

Notez qu'il vaut généralement mieux ne pas faire trop de simplification à chaque étape: trop de simplification a tendance à obscurcir le modèle. Et lorsque vous avez terminé, vous devez toujours vous assurer que votre formulaire fermé satisfait la récurrence:

$$3\left(\frac12(7-3^n)\right)-7=\frac32\cdot7-\frac12\cdot3^{n+1}-7=\frac12(3^{n+1}-7)\,.$$

Answer 2

Ce n'est pas correct comme écrit. Notez que (le côté gauche de la première ligne doit être$a_n$, et) le côté droit est égal à $3\cdot 3a_{n-2} - 3\cdot 7 - 7$. En particulier, nous soustrayons$3\cdot7+7$, pas seulement $7+7$. Alors le$-7n$ dans la dernière ligne ne sera pas correct.

En général, vous n'avez même pas besoin de savoir si vos étapes algébriques étaient correctes ou non pour tester la réponse finale! Essayez de brancher la formule proposée$a_n = 2\cdot 3^n - 7n$ à la récurrence: le résultat est $$ 2\cdot 3^n - 7n = 3(2\cdot 3^{n-1} - 7(n-1)) - 7 = 2\cdot 3^n - 21(n-1) - 7 = 2\cdot 3^n - 21n + 14, $$ ce qui est incorrect, révélant que quelque chose s'est mal passé.