Topologie: une approche catégorique, exercice 0.3 d), e)

Question

Exercice:

Ma tentative:

Je ne suis pas en mesure de trouver des exemples pour d) ou e), mais j'ai quelques théories sur ce que je pourrais rechercher.

Concernant d), dans $\mathsf{Top}$les morphismes sont des fonctions continues entre les espaces topologiques. J'ai besoin d'une fonction continue$f \colon X \to Y$qui est annulable à gauche et à droite mais pas un homéomorphisme. Étant donné que l'annulation à gauche et à droite signifie injective et surjective (pour les fonctions, au moins), une telle fonction$f$sera nécessairement bijective. Je recherche donc une bijection continue$f \colon X \to Y$ tel que $f^{-1}$ n'est pas continue.

Concernant e), un commentaire sur MathOverflow disait que je pourrais envisager$(0, 1)$ et $[0, 1]$ de $\mathsf{Top}$, mais le niveau de discussion est un peu supérieur à ma note salariale. Je suppose que le morphisme entre les deux était considéré comme évident, mais je ne sais pas ce que ce serait. Je suppose que j'ai besoin d'une fonction injective et continue dans chaque sens, de sorte qu'il ne puisse pas y avoir de bijection continue dans chaque sens.

J'apprécie toute aide.

Éditer:

Maintenant, je suis confus concernant e). Puisque la continuité préserve la compacité, cela ne veut-il pas dire qu'il n'y a aucun morphisme d'aucune sorte$[0, 1] \to (0, 1)$?

Answer 1

Pour d) pensez à n'importe quel espace topologique$X$ avec une topologie $\tau$ qui n'est pas indiscrète alors la fonction d'identité $id:(X,\tau)\to (X,I(X))$ satisfait aux conditions.

Pour e) notez que toute intégration$[0,1]\to (0,1)$ (par exemple la bijection linéaire entre $[0,1]$ et $[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$) et l'inclusion $(0,1)\hookrightarrow[0,1]$ sont deux monomorphismes mais les ensembles ne sont clairement pas homéomorphes.

Answer 2

Il est en effet vrai qu'un monomorphisme en $\mathbf{Top}$ est une injection, car cela tient $\mathbf{Set}$ et nous pouvons donner à n'importe quel ensemble le discret dans le domaine ou la topologie indiscrète dans le comomain et faire à n'importe quelle fonction entre ensembles un morphisme dans $\mathbf{Top}$ etc.

Donc dans $\mathbf{Top}$ $f$ est un monomorphisme ssi $f$ est une fonction injective continue, et $f$ est un épimorphisme ssi $f$ est une fonction continue surjective.

Un exemple standard de bijection continue $f:A \to B$ entre des espaces qui ne sont pas un homéomorphisme, c'est prendre n'importe quel ensemble $X$ de deux points ou plus, où $A = (X, \mathscr{P}(X))$ (la topologie discrète sur $X$) et $B=(X,\{\emptyset,X\})$ (la topologie indiscrète sur $X$) et $f(x)=x$ pour tous $x \in X$.

Alors ce n'est pas un isomorphisme dans $\mathbf{Top}$ (c'est-à-dire un homéomorphisme) parce que $A$ est Hausdorff et $B$ n'est pas ou simplement parce que $f$ n'est pas une carte ouverte (un singleton dans $A$ est ouvert et son image en $B$ n'est pas etc.).

Dans $\mathbf{Top}$ on peut même avoir des bijections continues $f: X \to Y$ et $g: Y \to X$ et encore $X$ et $Y$étant non homéomorphe, voir par exemple cette vieille question sur Mathoverflow.

Ou plus simplement $X = [0,1]$ et $Y = (0,1)$dans la topologie euclidienne les deux. L'un est compact, l'autre non, donc pas homéomorphe (pas isomorphe en$\mathbf{Top}$).

$X$ s'intègre dans $Y$ via $f(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{3}x$ par exemple et $Y$ est même un sous-espace de $X$ donc $i(x)=x$ ça ira.