Un exemple explicite du lemme d'approximation simple

Question

Je viens de recevoir le lemme d'approximation simple dans le texte Real Analysis de Royden, et je me demandais si quelqu'un pouvait fournir un exemple explicite de ce lemme. Ci-dessous, je vais inclure le lemme et une fonction qui satisfait les critères.

Le lemme d'approximation simple: Soit$f$ être une fonction mesurable de Lebesgue sur un ensemble mesurable de Lebesgue $E$. Si$f$ est lié à $E$ alors pour tous $\epsilon > 0$ il existe des fonctions simples $\phi_{\epsilon}$ et $\psi_{\epsilon}$ sur $E$ tel que:

$\phi_{\epsilon}(x) \leq f(x) \leq \psi_{\epsilon}(x), \forall x \in E \tag{1}$

$0 \leq \psi_{\epsilon}(x) - \phi_{\epsilon}(x) < \epsilon \tag{2}$

Donc, la fonction $f: [0, 2\pi]\to[-1, 1]$ Défini par $f(x) = \sin{x}$ est une fonction mesurable de Lebesgue sur un ensemble mesurable de Lebesgue, et est bornée, à savoir par ce qui suit $|f(x)| \leq 1$, par conséquent, le lemme d'approximation simple s'applique (n'est-ce pas?). Quelqu'un peut-il donner des exemples explicites des fonctions simples$\phi_{\epsilon}$ et $\psi_{\epsilon}$?

Ma tentative a été d'utiliser le fait que $|f(x)| \leq 1$. J'ai donc essayé les fonctions simples suivantes:

$\psi_{\epsilon} = 1 - \frac{\epsilon}{2}\tag{i}$

$\phi_{\epsilon} = -1 + \frac{\epsilon}{2}\tag{ii}$

Cependant, la propriété (2) du lemme d'approximation simple échoue car

$\psi_{\epsilon} - \phi_{\epsilon} = 2 - \epsilon.$

Answer 1

Laisser $\frac{1}{n} < \epsilon$. Nous allons nous concentrer sur l'intervalle$[0,\pi]$. Pour$ 0 \leq k \leq n-1$. considérez les ensembles$E_k = emf^{-1}\mid_{[0,\pi]}((\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}])$.

Maintenant, définissez la fonction $\phi$ et $\psi$ comme suit :

$$ \phi =\sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n} \times \chi_{E_{k}} \hspace{0.2 cm} \phi(0)= \phi(\pi) = 0 \\ \psi = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k+1}{n} \times \chi_{E_{k}} \hspace{0.2 cm} \psi(0) = \psi(1) = 0$$

Pour chaque $x \in [0,\pi]$ nous avons $\phi(x) \leq f(x) \leq \psi(x)$ et $0 \leq \psi(x) - \phi(x) \leq \epsilon.$

Remarque : pour un sous-ensemble de$E$ de l'intervalle ci-dessus. $\chi_{E}$ est la fonction caractéristique de ce sous-ensemble.

Et cette méthode pourrait facilement être étendue à tout l'intervalle $[0,2\pi]$.