$A$ nilpotent, lalu $I+\lambda A$ dapat dibalik untuk apa pun $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

Saya butuh bantuan dalam masalah ini
Mari$A$ adalah matriks nyata persegi sedemikian rupa $A^{n}=0$ untuk beberapa bilangan bulat positif $n .$Matriks seperti itu disebut nilpoten. Tunjukkan jika$A$ jadi nilpoten $I+\lambda A$ dapat dibalik untuk apa pun $\lambda \in \mathbb{R}$

Saya tahu itu untuk $\lambda = 1$ itu benar oleh
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ Demikian buktinya $A+I$ tidak dapat dibalik untuk nilpotent apa pun $A$.

Tapi saya tidak tahu apakah ini benar untuk semua orang $\lambda$.

Answer 1

Kita punya $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$.

Answer 2

Petunjuk: Karena Anda sudah tahu jika $A$ jadi nilpoten $I+A$ adalah satu unit, Anda dapat mengamati itu $\lambda A$ tidak poten dan menyimpulkan.

Answer 3

Anda juga dapat menunjukkannya dengan kontradiksi sebagai berikut:

Untuk $\lambda = 0$ tidak ada yang bisa ditampilkan.

Jadi ayo $\lambda \neq 0$ dan asumsikan itu $I+\lambda A$ tidak bisa dibalik. $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

Begitu, $\mu\neq 0$ akan menjadi nilai eigen $A$. Sejak$A$ tidak poten, kami akan melakukannya $\mu = 0$, yang merupakan kontradiksi.

Answer 4

Saya berasumsi $A$ sudah selesai $\mathbb{R}$ , dengan indeks nilpotent $k$

dalam hal $\lambda = 0$ : $(I - \lambda A) = I$dan bisa dibalik.
dalam hal$\lambda \not= 0$: kami akan menggunakan lemma berikutnya ini

---

lemma: jika$B$ adalah matriks nilpoten nyata, $B$tidak memiliki nilai eigen bukan nol yang nyata.
bukti:

mari kita asumsikan $B$ adalah nilpoten indeks $r$.
juga kami menganggap itu memiliki nilai eigen nyata -$\xi$

menurut definisi, itu berarti ada vektor bukan nol $v$ seperti yang-

$Bv = \xi v$

begitu, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
Secara umum, tidak sulit untuk menunjukkan dengan induksi itu
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

dengan itu, kami mendapatkan: $B ^r (v) = \xi ^r v$
tetapi juga $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

jadi - $\xi ^r v = \underline0$.
tapi$v \not= \underline0$ , jadi kita harus mendapatkannya $\xi ^r = 0$ - yang secara keseluruhan berarti:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

---

Sekarang, menerapkan lemma pada$A$, dan dapatkan itu $A$tidak memiliki nilai eigen bukan nol .

mari kita periksa matriksnya $I - \lambda A$ , mengingatnya di sini $\lambda \not= 0$.

Matriks ini dapat dibalik, jika dan hanya jika memiliki determinan bukan nol.
Mari kita hitung determinannya:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

anggap ini sama $0$ dan dapatkan:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

sehingga - $\lambda ^{-1}$ adalah nilai eigen dari $A$, yang bukan nol. Kontradiksi.

karena itu, $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ sehingga -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ dan matriksnya dapat dibalik.