Aksi kelompok sepele

Question

Pada halaman 43 dari aljabar abstrak Dummit & Foote:

Membiarkan $G$ menjadi grup dan $A$satu set tidak kosong.
Membiarkan$ga = a$, untuk semua $g \in G$, $a \in A$. Tindakan ini disebut tindakan sepele dan$G$ dikatakan bertindak sepele $A$. Perhatikan bahwa elemen berbeda dari$G$ menginduksi permutasi yang sama pada $A$(dalam hal ini permutasi identitas). Representasi permutasi terkait$G \to S_A$ adalah homomorfisme sepele yang memetakan setiap elemen $G$ identitas.

Pertanyaan: Mengapa dikatakan elemen yang berbeda dari$G$? Jika$ga=a$, tidak $G$ kelompok sepele, yang hanya memiliki satu elemen?

Answer 1

$A$ bukan merupakan subgrup dari $G$. Ini bukan grup (tidak harus)

Jadi Anda tidak bisa mengatakannya $ga=a\Rightarrow g=1_G$