Aljabar Boolean lengkap yang terhitung

Question

Saya membaca makalah Tarski "Aspek aksiomatik dan aljabar dari dua teorema tentang jumlah kardinal". Di halaman 99, dia menyatakan teorema berikut.

Teorema A Boolean$\sigma$-aljabar isomorfik ke a $\sigma$-aljabar himpunan jika dan hanya jika semua elemennya $\neq1$ terkandung dalam bilangan prima $\sigma$-ideal (yaitu, ideal maksimal yang mengandung sup dari setiap keluarga elemen yang dapat dihitung).

Kebutuhannya tampak jelas. Mengenai kecukupan, Tarski mengatakan bahwa itu dapat dibuktikan dengan cara yang sama seseorang dapat membuktikan teorema representasi Batu. Sayangnya, saya tidak mengerti caranya. Apakah Anda punya saran tentang masalah ini?

Answer 1

Buktinya hampir identik dengan bukti teorema representasi Batu; Anda hanya menambahkan beberapa$\sigma$s di tempat yang tepat. Membiarkan$B$ menjadi seorang Boolean $\sigma$-aljabar dan biarkan $X$ jadilah set prima $\sigma$-ideals dalam $B$. Menetapkan$f:B\to P(X)$ oleh $f(b)=\{I\in X:\neg b\in I\}$. Kemudian$f$ adalah homomorfisme, dan sebenarnya adalah a $\sigma$-homomorphism karena masing-masing $I\in X$ adalah $\sigma$-ideal. Sekarang jika hipotesis Anda berlaku, maka$f$ adalah suntik, sejak $f(b)=\emptyset$ maksudnya $\neg b$ tidak dalam bilangan prima apapun $\sigma$-ideal begitu $\neg b=1$ dan $b=0$. Jadi,$B$ isomorfik ke $\sigma$-aljabar himpunan yang diberikan oleh gambar $f$.