Antiturunan dari sedikit o

Question

Pertanyaan ini telah diajukan tetapi tidak ada jawaban yang saya temukan benar / cukup teliti.

Untuk $x$ mendekati nol dan $n>1$, adalah antiturunan dari $o(x^n)$ sama dengan $o( x^{n+1} )$ dan bagaimana kita membuktikannya?

Sedikit $o$ didefinisikan sebagai:

$f$ adalah $o( g )$ mendekati nol jika dan hanya jika ada fungsi $u$ yang cenderung nol saat $x$ mendekati nol dan memuaskan $f = u g,$ atau untuk apapun $\epsilon >0$, ada beberapa $a>0$ seperti yang $∣ f(x)∣ \leq \epsilon |g(x)|$ kapanpun $0< |x| <a$

Saya menggunakan kedua definisi tetapi tidak bisa kemana-mana, integrasi dengan bagian juga tidak membantu, saya tahu bahwa tidak benar untuk turunan itu: turunan dari $o(x^n)$ sama dengan $o( x^{n-1} )$ tapi saya tidak yakin tentang integrasi.

Answer 1

Ya, tidak ada masalah dengan hal ini, poin kuncinya adalah bahwa integrasi mempertahankan ketidaksetaraan (yang sangat salah untuk diferensiasi); yaitu jika$f(x) \le g(x)$ kemudian $\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx$.

Lebih formal, jika $f(x) = o(|x|^n)$, maka menurut definisi kami memiliki itu untuk apa saja $\epsilon > 0$ disana ada $\delta > 0$ seperti itu jika $0 < |x| < \delta$ kemudian $|f(x)| < \epsilon |x^n|$. Menetapkan

$$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt.$$

Lalu untuk apa saja $\epsilon > 0$ disana ada $\delta > 0$ seperti itu jika $0 < |x| < \delta$ kemudian $|f(x)| < \epsilon (n+1) |x^n|$, maka seperti itu

$$|F(x)| = \left| \int_0^x f(t) \, dt \right| \le \int_0^x |f(t)| \, dt \le \int_0^x \varepsilon (n+1) |t|^n \, dt = \varepsilon |x|^{n+1}.$$

Begitu $F(x) = o(|x|^{n+1})$. Kami tidak benar-benar perlu memasukkan file$n+1$ prefactor tetapi bagus untuk membuat ikatan terakhir keluar tepat seperti yang dibutuhkan.