Apakah $\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$ bertemu?
Pertimbangkan jumlah berikut (di mana $\Im(z)$ menunjukkan bagian imajiner dari $z$)
$$\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$$
Yaitu;
$$\Im(\lim_{n\to\infty}a_n)$$ $$a_1=e^i,\ \ \ a_{n+1}=a_n+e^{a_n}\ \ \ \forall n\geq1$$
Saya menulis beberapa kode python generik ( Try It Online ), dan terkejut melihat konvergensi yang jelas ke$\approx9.424$
Saya secara khusus prihatin dengan bagian imajiner karena bagian aslinya tampaknya menyimpang secara logaritmik.
Apakah ini bertemu? Jika ya, apakah ada ekspresi lain untuk konstanta?
Mungkin tes Dirichlet bisa berguna, meski aku tidak tahu bagaimana melanjutkannya.
Jawaban
Setelah beberapa iterasi, kami telah mencapai $$a_n = -b_n + i(3\pi + \varepsilon_n)$$ dengan $b_n > 0$ dan $\lvert \varepsilon_n\rvert < \frac{\pi}{2}$. Kemudian$$e^{a_n} = -e^{-b_n}\cdot e^{i\varepsilon_n} = -\frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} - i\frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ dan $$a_{n+1} = a_n + e^{a_n} = -\biggl(b_n + \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr) + i\biggl(3\pi + \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr)\,.$$ Jadi $b_{n+1} > b_n$ dan $$\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ memiliki tanda yang sama dengan dan besarnya lebih kecil dari $\varepsilon_n$. (Di sini kita punya$\varepsilon_n > 0$, tetapi untuk nilai awal lainnya, seseorang mungkin mencapai bagian imajiner yang sedikit lebih kecil daripada kelipatan ganjil $\pi$.)
Ini mengikuti itu $\varepsilon_n$ konvergen, dan tetap melihat bahwa batasnya $0$. Misalkan batas itu$\delta \neq 0$. Kemudian untuk semua$n$ kita punya $$\lvert \varepsilon_n - \varepsilon_{n+1}\rvert = \frac{\sin \lvert\varepsilon_n\rvert}{e^{b_n}} \geqslant \frac{\sin \lvert\delta\rvert}{e^{b_n}}$$ dan mengikuti itu $$\sum_{n = N}^{\infty} e^{-b_n} < +\infty\,. \tag{$\ ast$}$$ Sejak $$\lvert b_n - b_{n+1}\rvert = \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} \leqslant e^{-b_n}$$ selanjutnya mengikuti itu $b_n$ konvergen, khususnya $b_n < B$ untuk semua $n$ dan beberapa $B$, tapi ini bertentangan $(\ast)$. Karena itu$$\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$$ mengikuti.
Bukan bukti lengkap tapi indikasi kuat itu
$$\lim_{n\to\infty}\Im(a_n)=3\pi$$
Jika batasnya menyatu, maka
$$\lim_{n\to\infty}(\Im(a_n)-\Im(a_{n+1}))=0$$ Jadi, solusinya harus memuaskan
$$\Im(z)=\Im(z+e^{iz})$$ $$\implies\Im(z)=\Im(z)+\Im(e^{iz})$$ $$\implies\Im(e^{iz})=0$$ $$\implies\sin(z)=0$$ $$\implies z=\pi n\ \ \ \forall n\in\mathbb{Z}$$
Mempertimbangkan pendekatan perkiraan numerik $3\pi$(seperti yang ditunjukkan oleh Stinking Bishop , JG , dan Gottfried Helms ), baik seri tersebut menyatu dengan$3\pi$, atau entah bagaimana sangat lambat berosilasi di antara titik-titik tetap yang menarik dari formulir $\pi n$. Jika ini benar, maka anehnya meskipun inisialisasi$a_1=e^i$, yang jauh lebih dekat $\pi n$ untuk $n\in\{-1,0,1,2\}$, ia lebih memilih untuk menyatu pada awalnya $3\pi$.
Kami pada dasarnya memiliki
$S_{n+1}=S_n+\exp(S_n)$
Memberikan $S_n=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)$. Kemudian
$S_{n+1}=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n))$
$=(\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n))+i((k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)))$
Dimana
$\alpha_{n+1}=\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n)$
$\epsilon_{n+1}=\epsilon_n+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)$
Apa yang terjadi selanjutnya tergantung pada paritas $k$. Jika$k$ genap, maka dalam batas kecil $|\epsilon_n|$ kami membuat $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to 1$ dan $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to \epsilon_n$, jadi:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n+\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1+\exp(\alpha_n))$
Ini merupakan ketidakstabilan karena $\epsilon_n$ istilah dikalikan dengan faktor yang lebih besar dari $1$, dan lebih buruk faktor itu tumbuh karena $\alpha_n$meningkat. Kami melarikan diri, dengan lebih dari satu cara, dari kemungkinan ini.
Jika $k$ aneh, kalau begitu $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to -1$ dan $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to -\epsilon_n$, kemudian:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n-\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1-\exp(\alpha_n))$
Sekarang $\epsilon$ parameter dikalikan dengan angka positif kurang dari $1$, memungkinkan kondisi yang stabil. Juga$\alpha$parameter menurun secara logaritmik; solusi persamaan perbedaan untuk$\alpha_n$ memberi $\alpha_n\sim -\ln n$. Jadi titik tetap yang stabil secara khusus adalah kelipatan ganjil$\pi$. Kami mengharapkan konvergensi menjadi kelipatan ganjil daripada genap$\pi$.
Ada kesalahan kecil dalam hasil ini. Karena$\alpha$ menurun, pengganda aktif $\epsilon$ mendekati $1$, jadi konvergensi $\epsilon$ke nol melambat. Ini mungkin menjelaskan mengapa hasil numerik hanya berkumpul perlahan ke titik tetap yang stabil di$3\pi$.
Perbarui: kemungkinan "hubungan terbalik sederhana" (setelah persamaan 2) berantakan. Tidak tahu apakah saya bisa memperbaiki ini
Catatan: ini bukanlah jawaban, tetapi latihan yang mungkin menjelaskan lebih banyak tentang keseluruhan masalah
Seperti yang dikatakan Oscar Lanzi dalam komentarnya ("coba setel istilah awal ...") saya telah melihat perilaku iterasi yang dimulai pada titik awal yang berbeda.
Hal ini mengarah pada pertanyaan tentang fungsi kebalikan dan untuk mencoba, apakah kita bisa mundur dari$z_0=\exp(î)$ dan lihat, apa nilainya $z_{-1}$ akan beralih ke $z_0$ dan seterusnya.
Saya menemukan fungsi invers berikut, yang membutuhkan sepasang parameter di setiap langkah.
Membiarkan $$ f(z) = z + \exp(z) \tag 1$$ maka fungsi invers dapat ditulis sebagai $$ g(z,b,k) = \log( \text{LambertW}_b(\exp(z)) + k \cdot 2 \pi î \\ k,b \in \mathbb Z \tag 2$$ [Catatan: LambertW () branchindex$b$ menurut beberapa implementasi pengguna di Pari / GP, mungkin tanda lain atau cara lain berbeda di M'ma atau Maple et al.]
Lalu, jika kita punya $ z_1 = g(z_2, b,k)$ dengan beberapa diberikan $b,k$, maka kita memiliki hubungan invers sederhana $ z_2 = f( z_1)$ .
Pembaruan: ini tampaknya hanya berlaku untuk subset dari $(b,k)$ dan $b$ dan $k$ memiliki hubungan linier dan itu juga tergantung $z_2$. Itu salah sebagai klaim umum. Contoh data saat ini (lihat di bawah) dan gambar bagaimanapun juga benar.
Sayangnya, hal sebaliknya tidak mudah. Jika kita punya$ z_2 = f(z_1)$ dengan diberikan $z_1$ kemudian nilai yang sesuai untuk $b$ dan $k$ di $z_1=g(z_2,b=?,k=?)$ harus ditentukan secara empiris .
Tampaknya, dalam iterasi hingga tak terbatas$b$-parameter untuk LambertW () mengatur bagian nyata dari konvergen dan$k$parameter cabang untuk log () mengatur bagian imajiner dari konvergen
Misalnya, untuk menemukan satu kemungkinan pendahulu untuk$z_0=\exp(î)$ kita dapat memilih parameter paling sederhana untuk $g()$ yaitu $b=0$ dan $k=0$ dan dapatkan $$ z_{-1} = g(\exp(î),0,0) = -0.194208607165 + 0.469149782638 î \tag {3.1}$$ Periksa: $$ f(z_{-1}) = z_0 = 0.540302305868 + 0.841470984808 î = \exp(î) \tag {3.2} $$
Di sini sepertinya kita memilikinya $\Re (f(g(z_0,b,k)))=\Re( z_0)$ terlepas dari nilai $(b,k)$ dan hanya bagian imajiner yang berubah dalam langkah-langkah $2 \pi$.
Tapi mengevaluasi secara terbalik,$ g(f(z_0),b,k) = z_0$ hanya benar dengan nilai unik di $b$ dan masuk $k$.
Dugaan saya, katakanlah itu untuk iterasi indeks $i=20$, ketika komponen imajiner tiba di area konvergensi dan juga evolusi komponen nyata menjadi mulus, parameter untuk langkah mundur $z_{19}=g(z_{20},b_{20},k_{20})$ menjadi konstan, dan memang, mundur ke $z_7$ kami selalu $ z_{i-1} =g(z_{i},0,2)$.
Sekarang, jika kita lanjutkan dari $z_7$ mundur lebih jauh dengan parameter yang sama $(b,k)=(0,2)$sebaliknya ...
... kita tidak sampai pada kita$z_0 = \exp(î)$ tetapi pada beberapa nilai lain.
Jadi mari kita lihat, parameter apa yang sebenarnya kita butuhkan saat kita mundur dari $z_7$ untuk $z_6$ dan untuk $z_0$.
Lihat iterasi$z_0$ untuk $z_9$ dan parameternya $b_i$ dan $k_i$ untuk setiap iterasi:
z b k
--------------------------------------+--+--+----------------------
z_0: 0.540302305868+0.841470984808*I 0 0 ---> z_1
z_1: 1.68413794966+2.12135398618*I 1 0 ---> z_2
z_2: -1.13455960996+6.71301817364*I 0 1
z_3: -0.842246816784+6.84701983939*I 0 1
z_4: -0.478178799834+7.07722157180*I 0 1
z_5: -0.0436380449935+7.51933514381*I 0 1
z_6: 0.270773188633+8.42353070970*I 1 1 ---> z_7
z_7: -0.436174626083+9.52756299919*I 0 2 ---> z_8 from here parameters
z_8: -1.07926736567+9.46122892125*I 0 2 are always (0,2)
Dimulai pada $z_7$ kami akan melakukannya $z_6=g(z_7,1,1)$, $z_5=g(z_6,0,1)$, $z_4=g(z_5,0,1)$, ...
Aspek yang lebih menarik di sini adalah kita dapat kembali lagi tanpa batas ke arah belakang (menggunakan $g(,0,2)$) dengan pasangan parameter yang konstan $(0,2)$ dan tampaknya beralih ke $- \infty + 4 \pi î$
Berikut adalah plot dari orbit parsial $30$ menginjak $f()$ (warna: biru) yaitu $z_0$ untuk $z_{30}$ dan kemudian orbit parsial $63$ menginjak $g( ,0,2)$ (warna: emas) yaitu $z_{30}$ untuk $z_{-32}$.
