Asal usul Lagrangian
Apakah mungkin untuk menjelaskan bentuk Lagrangian $L=T-V$ dan prinsip tindakan dengan cara berikut?
Gaya yang bekerja pada sebuah partikel massa disebabkan oleh potensialnya $V(x)$. Gaya ini mendorong partikel untuk meminimalkan energi potensinya. Kita juga tahu bahwa tarikan adalah bentuk energi potensial negatif. Di sisi lain, Hukum Inersia menyatakan bahwa partikel massa cenderung menghalangi percepatan dan dengan demikian meminimalkan energi kinetiknya, tetapi hal itu meningkatkan energi potensial melalui gaya. Selama proses gerak dari titik$x_1$ untuk menunjuk $x_2$ antar waktu $t_1$ dan $t_2$, partikel massa cenderung setiap saat untuk meminimalkan jumlah energi kinetik dan potensial tariknya, yaitu suku tersebut $L=T-V$. Juga, ketika integral akan diekstraksi, maka tidak masalah jika kita memilih$L=T-V$ atau $L=V-T$.
EDIT : Kita juga tahu bahwa sistem mekanik dinamis cenderung ekuilibrium waktu-independen$T=V$. Jika memang begitu$T \neq V$, maka keadaan non-ekuilibrium adalah sistem dinamis yang cenderung menuju pada setiap interval waktu $T=V$, yaitu meminimalkan tindakan. Sekarang kita lihat jika$T \neq V$, maka sistem tersebut jelas memiliki beberapa tindakan mencari keseimbangan !
Jawaban
Seperti yang Anda tunjukkan: tentunya Lagrangian harus memanfaatkan fakta bahwa dengan semua interkonversi energi kinetik dan energi potensial, penurunan dan peningkatan harus cocok satu sama lain .
Kita dapat menyatakan kembali sebagai berikut:
Selama seluruh waktu laju perubahan energi kinetik sama dengan laju minus perubahan energi potensial:
Dalam notasi matematika:
$$ \frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt} \qquad (1) $$
Tentu saja, dalam persamaan ini ada tanda minus karena energi kinetik dan energi potensial berubah arah yang berlawanan.
Saya akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan energi . Untuk menjelaskan bentuk Lagrangian, persamaan energi sangat penting.
Animasi di bawah ini terdiri dari 7 frame, setiap frame ditampilkan selama 3 detik.
Pada sub-panel kiri atas dari diagram gabungan, garis hitam menunjukkan lintasan percobaan. Animasi menyapu berbagai variasi lintasan.
Pada sub-panel kanan atas:
Grafik merah: energi kinetik
Grafik hijau: energi potensial minus
Lintasan uji coba mencapai lintasan yang sebenarnya ketika grafik merah dan grafik hijau sejajar satu sama lain di mana-mana.
Untuk membandingkan grafik energi potensial (hijau) telah dibalik, mengekspresikan tanda minus.
Diagram menampilkan kondisi sebagai berikut:
Total durasi: 2 detik (dari t = -1 hingga t = 1)
Percepatan gravitasi: 2 m / s
Massa benda: 1 satuan massa.
Dengan kondisi seperti itu, lintasan sebenarnya diberikan oleh fungsi berikut yang memberikan ketinggian 'h' sebagai fungsi waktu:
$$ h(t) = -t^2 + 1 $$
Variasi telah diimplementasikan dengan cara berikut:
$$ h(t, p_v) = (1 + p_v)(-t^2 + 1) $$
Artinya, lintasan percobaan dinyatakan sebagai fungsi dari dua variabel: waktu dan parameter variasional p_v Dalam diagram, nilai (arus) dari parameter variasional ditampilkan di "kenop" penggeser.
Pada sub-panel kiri bawah:
Untuk nilai parameter variasional hingga nol grafik hijau berubah lebih cepat, dan untuk nilai parameter variasional lebih besar dari nol grafik merah berubah lebih cepat. Titik di mana keduanya berubah pada tingkat yang sama adalah ketika parameter variasinya nol.
Perbedaan respon terhadap variasi lintasan ini divisualisasikan dengan mengambil integral. Seperti yang kita ketahui: integrasi memiliki sifat berikut: jika Anda memiliki grafik dan integral dari grafik tersebut, maka ketika kemiringan grafik mengubah nilai integral berubah secara proporsional .
Ini menjelaskan mengapa Lagrangian ($T - V$) bertanda minus.
Mekanika Lagrangian menggunakan persamaan energi (1) untuk mencari lintasan dengan sifat bahwa laju perubahan energi kinetik sesuai dengan laju perubahan energi potensial.
Jawaban ini adalah versi singkat dari versi sebelumnya yang lebih panjang (menggunakan animasi 7-bingkai yang sama)
Penjelasan heuristik OP (v3) berisi unsur fisik yang tepat baik yang bersifat dinamis maupun kinematik, walaupun terdapat tanda minus relatif yang penting antara $T$ dan $V$ di Lagrangian $L=T-V$sebaiknya menggunakan beberapa penjelasan lebih lanjut. Untuk bukti matematis, lihat misalnya pos Phys.SE terkait ini .