Berapakah nilai eigen dari operator kelengkungan $\mathbb{C}P(2)$?
Saya mencoba menanyakan ini di stackexchange tetapi tidak berhasil.
Pada halaman 150 dari bagian 4.5.3 Geometri Riemannian Peter Petersen dicatat bahwa, diberikan dasar ortonormal$X,iX,Y,iY$ untuk $T_p\mathbb{C}P^2$, dasar berikut mendiagonalisasi operator kelengkungan $\mathfrak{R}:\Lambda^2T_p\mathbb{C}P^2 \to \Lambda^2T_p\mathbb{C}P^2 $:
\begin{align*} &X \wedge iX \pm Y \wedge iY\\ & X \wedge Y \pm iX \wedge iY \\ & X \wedge iY \pm Y \wedge iX \end{align*}
dengan nilai eigen $[0,6]$. Saya telah mencoba menghitung menggunakan rumus O'Neill tetapi macet. Misalnya asumsikan$\mathfrak{R}(X \wedge iX + Y \wedge iY)=c \left(X \wedge iX + Y \wedge iY\right)$. Kemudian:
\begin{align*} g(\mathfrak{R}(X \wedge iX + Y \wedge iY),X \wedge iX + Y \wedge iY)&=cg(X \wedge iX + Y \wedge iY,X \wedge iX + Y \wedge iY)\\ &=2c \end{align*}
dan menurut definisi $\mathfrak{R}$:
\begin{align*} &g(\mathfrak{R}(X \wedge iX + Y \wedge iY),X \wedge iX + Y \wedge iY) \\ &=R(X,iX,iX,X)+R(Y,iY,iY,Y)+2R(X,iX,iY,Y) \\ &=\sec(X,iX)+\sec(Y,iY)+2R(X,iX,iY,Y) \\ &=8+2R(X,iX,iY,Y) \end{align*}
begitu:
\begin{align*}2c &= 8+2R(X,iX,iY,Y) \\ c&=4+R(X,iX,iY,Y) \end{align*}
Saat ini saya tidak tahu bagaimana melanjutkannya. Saya tahu formula untuk berkembang$R(X,iX,iY,Y)$dalam hal kelengkungan bagian tetapi cukup rumit. Alternatifnya, kembali ke rumus O'Neill yang kita miliki:
\begin{align*}R(X,iX,iY,Y)=&\overline{R}(\overline{X},\overline{iX},\overline{iY},\overline{Y})+\frac14 \overline{g} ([\overline{iX},\overline{Y} ],[\overline{X},\overline{iY}])-\frac14 \overline{g}([\overline{X},\overline{Y}],[\overline{iX},\overline{iY}]) \\ &+ \frac12 \overline{g} ([ \overline{X},\overline{iX}],[\overline{iY},\overline{Y}] )\end{align*}
dimana $\overline{R}$ menunjukkan tensor kelengkungan aktif $S^5$, $\overline{g}$ menunjukkan metrik pada $S^5$, dan $\overline{V}$menunjukkan gaya angkat horizontal. Sejak$X,iX,Y,iY$ adalah orthonormal dan lift mereka juga ortonormal saya kira $\overline{R}(\overline{X},\overline{iX},\overline{iY},\overline{Y})=0$ jadi kita ditinggalkan
\begin{align*}R(X,iX,iY,Y)=&\frac14 \overline{g} ([\overline{iX},\overline{Y} ],[\overline{X},\overline{iY}])-\frac14 \overline{g}([\overline{X},\overline{Y}],[\overline{iX},\overline{iY}]) + \frac12 \overline{g} ([ \overline{X},\overline{iX}],[\overline{iY},\overline{Y}] )\end{align*}
Apakah saya melewatkan sesuatu yang seharusnya membuat ini lebih mudah untuk diselesaikan?
edit: Saya menindaklanjuti dengan ide pertama (memperluas $R(X,iX,iY,Y)$ dalam hal kelengkungan bagian) dan mendapatkan nilai eigennya $0,0,2,2,2,6$. Mengingat bahwa$\mathbb{C}P(2)$ adalah Einstein dengan konstanta Einstein $6$ dan kelengkungan skalar $12$, Saya tergoda untuk percaya bahwa nilai eigen benar (karena jumlahnya sama $12$).
Jawaban
Mungkin, akan lebih mudah untuk menghitungnya langsung dari persamaan struktur. Misalnya, kita ingin menghitung nilai eigen operator kelengkungan untuk$\mathbb{CP}^n=\mathrm{SU}(n{+}1)/\mathrm{U}(n)$. Saya menyatakan bahwa mereka memang demikian$0$ dengan keserbaragaman $n(n{-}1)$, $2$ dengan keserbaragaman $n^2{-}1$, dan $2(n{+}1)$ dengan keserbaragaman $1$. Begini cara melihatnya: Tulis formulir invarian kiri di$\mathrm{SU}(n+1)$ sebagai $$ \lambda = \begin{pmatrix} -i\,n\,\rho & -^t\omega+i\,^t\eta\\ \omega+i\,\eta &\alpha + i\rho\,I_n + i\,\beta\end{pmatrix} $$ dimana $\omega$ dan $\eta$ adalah kolom tinggi $n$, $\alpha = -\ ^t\alpha$ dan $\beta = {}^t\beta$ sementara $\mathrm{tr}(\beta)=0$. Mundurnya metrik pada$\mathbb{CP}^n$ untuk $\mathrm{SU}(n{+}1)$ adalah bentuk kuadrat $g = \ ^t\omega\circ\omega + ^t\eta\circ\eta$. Persamaan Maurer-Cartan$\mathrm{d}\lambda = -\lambda\wedge\lambda$ membongkar ke $$ \mathrm{d}\begin{pmatrix}\omega\\ \eta\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}\alpha & -(n{+}1)\rho I_n-\beta \\ (n{+}1)\rho I_n+\beta & \alpha \end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}\omega \\ \eta\end{pmatrix} $$ bersama dengan persamaan $$ \begin{align} \mathrm{d}\rho &= -2/n\,{}^t\omega\wedge\eta\\ \mathrm{d}\alpha + \alpha\wedge\alpha - \beta\wedge\beta &= \omega\wedge {}^t\omega + \eta \wedge {}^t\eta\\ \mathrm{d}\beta +\beta\wedge\alpha-\alpha\wedge\beta &= \eta\wedge {}^t\omega- \omega\wedge {}^t\eta + (2/n) {}^t\omega\wedge\eta\, I_n\,. \end{align} $$ Akibatnya, matriks $$ \theta = \begin{pmatrix}\alpha & -(n{+}1)\rho I_n-\beta \\ (n{+}1)\rho I_n+\beta & \alpha \end{pmatrix} $$ adalah matriks koneksi Levi-Civita untuk metrik $g$, dan kelengkungannya $$ \begin{align} \Theta &= \mathrm{d}\theta+\theta\wedge\theta\\ &= \begin{pmatrix}\omega\wedge {}^t\omega + \eta \wedge {}^t\eta & 2\,{}^t\omega\wedge\eta\,I_n -\eta\wedge {}^t\omega+\omega\wedge {}^t\eta \\ -2\,{}^t\omega\wedge\eta\,I_n +\eta\wedge {}^t\omega- \omega\wedge {}^t\eta & \omega\wedge {}^t\omega + \eta \wedge {}^t\eta \end{pmatrix}. \end{align} $$ Sekarang, $\theta$ (dan karenanya $\Theta$) mengambil nilai dalam subaljabar ${\frak{u}}(n)\subset{\frak{so}}(2n)\simeq\Lambda^2(\mathbb{R}^{2n})$, dimana ${\frak{u}}(n) = {\mathbb{R}}\cdot J + {\frak{su}}(n)$ dengan $J = \begin{pmatrix} 0_n & I_n\\ -I_n & 0_n\end{pmatrix}$ dan ${\frak{su}}(n)$ menjadi matriks simetri-miring dari bentuk $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$ dimana $a$ aku s $n$-oleh-$n$ miring-simetris dan $b$ aku s $n$-oleh-$n$simetris dan bebas jejak. Ini mengikuti bahwa operator kelengkungan$R$ (yang simetris) memusnahkan semua yang ada di dalamnya ${\frak{u}}(n)^\perp\subset {\frak{so}}(2n)$, ruang vektor dimensi $n(n{-}1)$, jadi semua vektor eigen kernel ini memiliki nilai eigen $0$. Mengambil$J$-lacak $\Theta$, kami melihat itu $R$ memiliki $J$ sebagai vektor eigen dari nilai eigen $2(n{+}1)$. Subruang${\frak{su}}(n)$ tidak dapat direduksi dan harus dipetakan oleh $R$ ke kelipatan skalar itu sendiri, dan berpasangan dengan elemen tipikal, kita melihat bahwa pengali adalah $2$. Jadi,$2$ adalah nilai eigen dari keserbaragaman $n^2{-}1$, dimensi ${\frak{su}}(n)$.