Bukti setiap PID adalah Noetherian

Question

Saya melihat bukti dari proposisi ini di sini , tapi saya punya pertanyaan tentang ini.

Definisi cincin Noetherian adalah bahwa cincin itu komutatif, dan setiap cita-cita R dihasilkan tanpa batas, bukan? Cincin utama adalah bahwa setiap cincin ideal dihasilkan oleh elemen tunggal, jadi jelas. Tapi saya penasaran kan bukan hanya PID, tapi juga Principal ringnya Noetherian?

Terima kasih!

Answer 1

Anda benar, ini tidak ada hubungannya dengan menjadi domain.

Dalam cincin ideal prinsipal, semua cita-cita dihasilkan secara tak terbatas karena fortiori mereka dihasilkan secara tunggal . Artinya, satu elemen genset adalah genset terbatas!

Masalahnya adalah bahwa dalam beberapa konteks penulis hanya berpegang pada domain. Jadi tidak ada misteri besar tentang memasukkan kondisi domain, itu hanya masalah konteks.