Cauchy $n$tes root -th: $\lambda_n$tes root -th?

Question

Membiarkan $\lambda_n=n$ dan $A=\overline{\lim}_n |a_n|^{\frac{1}{\lambda_n}}$. Cauchy ($n$-th) tes root menyatakan bahwa

• $A<1 \ \implies \ \sum_n |a_n|< \infty$
• $A>1 \ \implies \ \sum_n |a_n|= \infty$

Jika kita hanya berasumsi bahwa: $$\frac{\lambda_n}{\log(n)}\to \infty$$ kemudian kami dapat membuktikan klaim serupa:

• Jika $A<1$ kemudian berdasarkan properti dari $\lambda_n$ dan $\overline{\lim}$ ada sebuah $n_0$ seperti itu jika $n\ge n_0$: $$ |a_n|^{\frac{1}{\lambda_n}}\le \sup_{k\ge n} |a_k|^{\frac{1}{\lambda_k}}< \frac{1+A}{2}=q<1 \\ $$ $$ \log(q)\frac{\lambda_n}{\log(n)}<-2 \\ $$ $$ \implies |a_n| < q^{\lambda_n} = e^{\log(q)\lambda_n} = e^{\log(n) \log(q)\frac{\lambda_n}{\log(n)}} = n^{\log(q)\frac{\lambda_n}{\log(n)}}< \frac{1}{n^2} $$

• Jika $A>1$ lalu ada kelanjutannya $a_{k(n)}$ untuk itu $|a_{k(n)}|>1$, oleh karena itu $a_n$ bukan urutan nol.

Kasus penggunaan:

• 1 $$ \sum_n \frac{1}{3^{\sqrt{n}}}<\infty\ \hspace{2cm} \lambda_n=\sqrt{n}\\ $$

• 2 $$ \sum_n \frac{n}{e^{\sqrt{n}}}<\infty\ \hspace{2cm} \lambda_n=\sqrt{n}\\ $$

• [1] + [2] $$ r>1,\ \alpha, \beta>0\ \ \ \implies \sum_n \frac{n^\beta}{r^{n^\alpha}}<\infty\ \hspace{2cm} \lambda_n=n^{\alpha}\\ $$

Pertanyaan:

• Apakah derivasi benar?
• Saya pikir ini adalah tes mainan, tetapi untuk beberapa urutan ini memberikan cara rutin untuk mempelajari konvergensi. Apa yang Anda pikirkan?

Answer 1

Penurunan tes sudah benar. Saya tidak yakin seberapa berguna tes ini dalam praktiknya, karena di luar kepala saya, saya tidak dapat melihat contoh di mana tes ini bekerja dan penerapannya langsung tetapi merupakan penerapan tes perbandingan (atau, dalam kasus urutan monotonik akhirnya seperti contoh Anda, uji perbandingan integral atau uji kondensasi) akan jauh lebih sulit.

Tes Anda dalam contoh-contoh ini lebih sederhana, tetapi apakah keuntungan dalam kesederhanaan cukup besar untuk lebih besar daripada beban mengingat tes lain yang saya belum bisa katakan.

Tetapi bahkan jika itu ternyata tidak terlalu berguna dalam praktiknya, adalah pemikiran yang baik untuk memikirkannya.