Contoh konduktor-T?

Question

Saya berjuang untuk memahami konsep konduktor-T dalam aljabar linier. Saya tahu definisinya, tetapi beberapa contoh akan membantu.

Definisi. Membiarkan$W$ menjadi subruang invarian untuk $T$ dan biarkan $\alpha$ menjadi vektor di $V$. Itu$T$-konduktor dari $\alpha$ ke $W$ adalah setnya $S_T(\alpha;W)$, yang terdiri dari semua polinomial $g$ (di atas bidang skalar) sedemikian rupa $g(T)\alpha$ masuk $W$. (hlm. 201, Bagian 6.4)

Saya perlu beberapa contoh konduktor-T

Terima kasih sebelumnya

Answer 1

Berikut contohnya. Membiarkan$T:\Bbb C^4 \to \Bbb C^4$ menjadi transformasi yang terkait dengan matriks bentuk Yordania $$ \pmatrix{\mu&1&0&0\\0&\mu&0&0\\ 0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda}. $$ Membiarkan $W$ menunjukkan subruang yang direntang oleh vektor $e_1 = (1,0,0,0)$. Membiarkan$e_1,\dots,e_4$ menunjukkan dasar standar $\Bbb C^n$. Kami sekarang menjelaskan$S_T(\alpha;W)$ untuk beberapa vektor berbeda $\alpha$:

• Untuk $\alpha = e_2$, $S_T(\alpha;W)$ adalah himpunan polinomial yang habis dibagi $p(t) = (t-\mu)$
• Untuk $\alpha = e_3$, $S_T(\alpha;W)$ adalah himpunan polinomial yang habis dibagi $p(t) = (t-\lambda)(t-\mu)$
• Untuk apapun $\alpha$ di luar rentang $\{e_1,e_2,e_3\}$, $S_T(\alpha;W)$ adalah himpunan polinomial yang habis dibagi $(t-\mu)(t-\lambda)^2$.
• Untuk apapun $\alpha \in W$, $S_T(\alpha;W)$adalah himpunan dari semua polinomial
• Untuk apapun $v \in \Bbb C^4$ dan $\alpha = e_1 + v$, $S_T(\alpha;W) = S_T(v;W)$