Definisi kategori-n
Apa definisi standar, jika ada, dari file $n$-kategori pada tahun 2020? Literatur yang dapat saya manfaatkan sangat terbatas, tetapi saya akan mencoba yang terbaik untuk membuat daftar apa yang saya miliki sejauh ini.
Dalam [Lei2001], Leinster mendemonstrasikan 10 definisi berbeda untuk sebuah $n$-kategori, dan tidak berkomentar apakah mereka setara atau tidak. Dalam [BSP2011], penulis membuat aksioma dan mengklaim bahwa semua (banyak?) Definisi dari sebuah$(\infty,n)$-kategori sejauh ini memenuhi aksioma mereka, dan karena itu setara (hingga beberapa tindakan). Saya menyertakan definisi tersebut di sini untuk kelengkapan:
- (a) Ruang Segal Θn lengkap Charles Rezk,
- (b) ruang Segal lengkap n-lipat,
- (c) André Hirschowitz dan Segal n-kategori Simpson,
- (d) kategori n-relative dari Clark Barwick dan Dan Kan,
- (e) kategori diperkaya dalam setiap kategori model internal yang teori homotopi yang mendasari adalah teori homotopi dari (∞, n) -kategori,
- (f) ketika n = 1, kategori kuasik Boardman dan Vogt,
- (g) ketika n = 1, set sederhana Lurie yang ditandai, dan
- (h) ketika n = 2, set kesederhanaan berskala Lurie,
Namun, semua kasus di [Lei2001] tampaknya tidak tercakup, dan bahkan ada lebih banyak lagi di sini . Apa perbedaan penting antara mendefinisikan file$n$-kategori dan $(\infty,n)$-kategori?
Pertanyaan
Singkatnya, ada banyak definisi untuk kategori yang lebih tinggi .. jadi yang mana yang harus kita gunakan? Apakah ada daftar dari semua definisi yang dibuat, dan diskusi yang mana yang ekuivalen dengan pengertian yang mana? Apakah ada juga diskusi tentang definisi mana yang memenuhi ketiga hipotesis tersebut
- hipotesis stabilisasi
- hipotesis kusut
- hipotesis cobordisme
didalilkan dalam [BD1995]?
Referensi
- [Lei2001]: Survei Definisi Kategori-n- [Tom Leinster] - [arXiv: math - 0107188]
- [BSP2011]: Tentang Kesatuan Teori Homotopi Kategori Tinggi- [Clark Barwick dan Christopher Schommer-Pries] - [arXiv: 1112.0040]
- [BD1995]: Aljabar Dimensi Lebih Tinggi dan Teori Medan Kuantum Topologi- [John C. Baez dan James Dolan] - [arXiv: q-alg - 9503002]
Terkait
- Menerjemahkan perkembangan melalui yayasan yang berbeda
Jawaban
Pertama-tama, ada perbedaan penting antara pengertian ketat $n$-kategori, lemah $n$-kategori, dan $(\infty,n)$-kategori. Gagasan termudah adalah yang ketat$n$-kategori, dan tidak ada keraguan tentang definisi di sana : ketat$0$-kategori adalah sebuah himpunan, dan dengan induksi menjadi sebuah strict $n$-kategori adalah kategori yang diperkaya dalam kategori $(n-1)$-kategori.
Ada baiknya Anda mengutip makalah Baez dan Dolan, yang memperkenalkan model awal untuk gagasan tentang yang lemah $n$-kategori. Antara tahun 1995 dan 2001 terjadi perkembangan besar-besaran model-model lain. Secara moral, mereka haruslah kategori diperkaya secara lemah dalam kategori lemah$(n-1)$-kategori, tetapi ada banyak cara untuk mendefinisikan pengayaan yang lemah, karena ada banyak cara untuk melacak sel yang lebih tinggi dan cara menggabungkannya. Pada tahun 2004 ada konferensi untuk mencoba menyatukan semua orang dan mencari tahu kesamaan antara model, dan mana yang setara dengan yang lain. Itu tidak mengakibatkan satu muncul sebagai model "standar", dan saya rasa Anda tidak harus mengharapkan hal itu terjadi dalam waktu dekat. Namun, sekarang kita tahu bahwa model lemah$n$-kategori secara luas terbagi dalam dua kubu. Wikipedia mengatakannya dengan baik :
Pada dasarnya ada dua kelas teori: teori di mana sel yang lebih tinggi dan komposisi yang lebih tinggi direalisasikan secara aljabar (paling luar biasa teori Michael Batanin tentang kategori lebih tinggi yang lemah) dan yang di mana lebih banyak model topologis digunakan (misalnya kategori yang lebih tinggi sebagai himpunan sederhana yang memuaskan. beberapa sifat universalitas).
Wikipedia juga mengatakan "Beberapa definisi telah diberikan, dan mengatakan kapan mereka setara, dan dalam arti apa, telah menjadi objek studi baru dalam teori kategori." Ini sesuai dengan pemahaman saya tentang bidang ini seperti saat ini. Saya memikirkan teori kategori yang lebih tinggi sebagai tertarik pada pertanyaan tentang banyak model untuk yang lemah$n$-kategori. Itu berbeda dengan studi tentang$(\infty,n)$-kategori, yang lebih terletak pada teori homotopi.
Sekarang, orang lain mungkin datang dan berkata "$(\infty,n)$-kategori adalah hal yang benar "karena MathOverflow memiliki representasi ahli teori homotopi yang lebih besar daripada ahli teori kategori yang lebih tinggi. Anda mungkin mendapatkan perasaan yang sama dari membaca nLab, sekali lagi berdasarkan siapa yang menulis di sana. Tetapi jika Anda pergi nongkrong di Sydney, Australia, di mana teori kategori yang lebih tinggi masih hidup dan sehat, Anda tidak akan mendengar orang berkata $(\infty,n)$-kategori adalah model yang "benar" atau yang menjadi teorema kesatuan $(\infty,n)$-kategori memecahkan masalah dari 2004 mencari tahu model mana yang lemah $n$-kategori setara.
Ada juga banyak pekerjaan yang sedang berlangsung terkait dengan hipotesis stabilisasi, hipotesis kusut, dan hipotesis cobordisme dalam berbagai model kelemahan. $n$-kategori. Misalnya, Batanin baru-baru ini membuktikan hipotesis stabilisasi untuk model Rezk berdasarkan$\Theta_n$-spasi. Kemudian Batanin dan saya memberikan bukti lain yang berlaku untuk seluruh kelas definisi lemah$n$-kategori, termasuk model Rezk. Jauh di tahun 1998 , Carlos Simpson membuktikan hipotesis stabilisasi untuk definisi Tamsamani tentang kategori-n lemah. Gepner dan Haugseng membuktikan hipotesis stabilisasi untuk$(\infty,n)$-kategori dan jenis pengayaan lemah yang akan Anda dapatkan menggunakan tesis PhD Haugseng (tentang diperkaya $\infty$-kategori). Tentu saja, yang terkenal, Lurie menulis ribuan halaman untuk membuktikan hipotesis cobordisme$(\infty,n)$-kategori, dan Ayala dan Francis memberikan bukti yang lebih singkat menggunakan homologi faktorisasi.
Saya yakin ada banyak literatur yang saya lewatkan, dan saya yakin beberapa akan tidak setuju dengan saya dalam mengatakan "ya, masih berharga untuk mempelajari model kelemahan $n$-kategori alih-alih hanya belajar $(\infty,n)$-kategori. "Tapi Anda meminta referensi jadi berikut ini beberapa untuk Anda mulai.