Definisi supremum

Sep 07 2020

Saya hanya bingung dengan pengamatan yang saya buat pada teks sarjana di Analisis Nyata. Konsep supremum dan infimum tidak terlalu mudah dipahami oleh siswa yang baru mempelajari mata pelajaran tersebut, dan tentunya jauh lebih mudah bagi mereka untuk memahami himpunan maksimum dan minimum (termasuk fakta bahwa mereka mungkin tidak ada) dan batas atas. Yang harus dilakukan adalah menunjukkan interval seperti$[0,2]$ dan $[0,2)$ dan berbicara tentang angka 2 dan angka 3. Jadi mengapa tidak mendefinisikan batas atas terkecil dari suatu himpunan $S$ (dalam bidang terurut) sebagai minimum (itu ada) dari himpunan semua batas atas untuk $S$?

Saya telah memeriksa sejumlah besar teks sarjana untuk Analisis Nyata, dan saya tidak pernah menemukan definisi sederhana ini, atau bahkan kata "minimum" disebutkan. Sebagian besar dari mereka akan mendefinisikannya menggunakan cara yang jauh lebih sulit "itu batas atas, dan untuk nomor apa pun yang kurang dari itu, akan ada beberapa dll, dll.". Beberapa orang akan berkata: itu adalah batas atas$M$ seperti itu jika $x$ adalah batas atas, lalu $M\leq x$. Sekali lagi, mengapa tidak mengatakan, "ini adalah set minimum dari semua batas atas"? Beberapa hanya akan mengatakan "itu adalah batas atas terkecil" tetapi bahkan ini adalah perubahan bahasa, dari minimum ke paling kecil, dan dalam hal apa pun mereka menggunakan "batas atas terkecil" hanya sebagai nama untuk konsep tersebut, kemudian mendefinisikannya menggunakan cara yang berbelit-belit.

Saya tidak bermaksud memposting ini sebagai topik diskusi, hanya sebagai pertanyaan asli tentang apakah saya melewatkan sesuatu yang penting yang akan menjelaskan mengapa mendefinisikan supremum seperti itu adalah ide yang baik.

Jawaban

EduardoMagalhães Sep 07 2020 at 22:03

Saya tidak berpikir ada perbedaan antara mengatakan bahwa itu adalah "itu adalah batas atas terkecil" atau mengatakan bahwa itu adalah "itu adalah himpunan minimum dari semua batas atas".

Membiarkan $S$ jadilah satu set dan biarkan $M$menjadi himpunan semua batas atas. Kemudian kami memiliki dua kemungkinan kasus:$\exists \max S$ atau $\nexists \max S$:

$\exists \max S$:

Jika $\exists \max S$, maka ini artinya $\forall s \in S, s \leq \max S$, jadi ini menyiratkan itu $\max S \in M$.

Sekarang, mari kita asumsikan $\max S$ bukan minimum $M$. Artinya:$\exists m \in M: m < \max S$. Kemudian,$\forall x \in S, x \leq m$, karena $m$juga merupakan batas atas. Tapi$\max S \in S$, jadi ini berarti itu $\max S \leq m$. Properti yang menentukan dari$m$ dulu: $m \in M: m < \max S$. Jadi ini kontradisi. Artinya itu$\max S$ memang minimum $M$ dan dengan demikian $\sup S = \min M = \max S$.

$\nexists \max S$:

Sekarang mari kita asumsikan itu $\nexists \max S$. Membiarkan$M$ menjadi himpunan semua batas atas.

Mari kita asumsikan $\nexists \min M$. Artinya itu$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Ini berarti jika$a_1 \in M$, kemudian $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. Tapi karena$a_1$ bukan minimum $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. artinya kita bisa mendekati semaunya sesuka kita$s$. Maka ini berarti kita dapat menemukan urutannya$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ seperti yang $\lim _n a_n = s$.

Sekarang, ayo $s_1, s_2 \in S$ seperti yang $s_1 < s_2$. Kemudian kita dapat menemukan urutannya$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ seperti yang $\lim _n a_n = s_1$. Tapi karena kita bisa sembarangan dekat$s_1$, ini artinya $\exists k \in \Bbb N:$ jika $n \geq k$ kemudian $s_1 < a_n < s_2$. Ini adalah kontradiksi, seperti$a_n \in M$adalah batas atas. Artinya itu$\exists \min M$.