Diferensial matriks gram

Question

Saya memiliki fungsi nilai matriks $M=AXX^\top A^\top$, dan saya mencari ekspresi turunannya terkait dengan setiap elemen $X$. Sini$A$ aku s $n\times n$ dan $X$ aku s $n\times m$ dengan $m\leq n$

Jadi saya mencari sesuatu dari formulir $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}} = D^{ij}$ dengan $D^{ij}_{kl} = \frac{\partial M_{kl}}{\partial X_{ij}}$.

Menggali Matrix Cookbook, saya tidak dapat menemukan ini atau ungkapan yang lebih umum yang sepertinya akan membantu.

Yang paling dekat yang bisa saya temukan adalah identitas:$$\frac{\partial}{\partial X} b^\top X^\top X c = X (bc^\top + cb^\top)$$ dimana $b$ dan $c$adalah vektor. Saya merasa ini mungkin berisi solusinya, tetapi saya tidak yakin bagaimana menggeneralisasikannya.

Answer 1

Kita bisa menghitung turunannya $\frac{dM}{dX}$ sebagai turunan arah: \begin{align*} \frac{dM}{dX}(Y) &= \lim_{t \to 0} \frac{M(X + tY) - M(X)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} \, . \end{align*} Menyederhanakan pembilangnya, kami temukan \begin{align*} A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top &= A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= A (X X^\top + tY X^\top + tXY^\top + t^2 Y Y^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top \, . \end{align*} Jadi \begin{align*} \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} &= \lim_{t \to 0} \frac{tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top}{t}\\ &= \lim_{t \to 0} A(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t A Y Y^\top A^\top\\ &= A(Y X^\top + XY^\top)A^\top \, . \end{align*}

Seperti yang disebutkan dalam komentar, sebagian $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}}$ kemudian dapat ditemukan dengan mengganti $Y = E_{ij}$, matriks dengan a $1$ dalam $i,j$masuk dan nol di tempat lain. Begitu\begin{align*} \frac{\partial M}{\partial X_{ij}} &= \frac{dM}{dX}(E_{ij}) = A(E_{ij} X^\top + XE_{ij}^\top)A^\top = A(E_{ij} X^\top + X E_{ji})A^\top \, . \end{align*}