Dimensi serat

Question

Membiarkan $f:X\rightarrow Y$ menjadi morfisme dugaan skema aljabar (di atas bidang tertutup aljabar $F$ karakteristik $0$). Saya pikir dalam kasus yang baik ($X$ dan $Y$ irreducible) kami memiliki setiap untuk setiap $y$ di $Y$ dimensi serat $f^{-1}(y)$ setidaknya $\dim X-\dim Y$. Apa yang terjadi jika kita membatalkan asumsi irreducibility? Apakah counterexamples untuk batas bawah ini untuk ddimensi$f^{-1}(y)$?

Answer 1

Ya, jika Anda tidak membutuhkan $Y$ menjadi tidak dapat direduksi maka ikatan ini dapat dilanggar.

Contoh termurah adalah mengambil $f: X \rightarrow Y$ perkiraan dimensi relatif apa pun yang Anda suka, lebih besar dari $0$, biarkan $X'$ dan $Y'$ menjadi persatuan terputus masing-masing dengan satu titik, dan tentukan $f'$ untuk menyamakan $f$ di $X$ dan untuk memetakan titik baru $X$ ke titik baru $Y$.

Jika Anda memerlukan keterhubungan, Anda dapat melakukan sesuatu yang serupa, sekarang melampirkan ucapkan garis melintang $X$ dalam beberapa kasus $x$ dan baris lain ke $Y$ di $f(x)$, dan memperluas $f$ dengan memetakan garis ke garis secara isomorfis.

---

Dengan sedikit lebih mengutak-atik, kita juga bisa memasak contoh dimana $Y$ tidak dapat direduksi, sebagai berikut.

Membiarkan $Y=\mathbf A^1$, biarkan $Z \subset \mathbf A^2$ didefinisikan oleh $xy=1$, dan biarkan $q:Z \rightarrow Y$menjadi proyeksi untuk mengatakan faktor pertama. Peta ini adalah isomorfisme ke set terbuka$Y \setminus \{0\}$.

Sekarang biarkan $W=Z \times \mathbf A^1 \subset \mathbf A^3$. Kemudian peta proyeksi$W \rightarrow Y$ memiliki serat 1 dimensi di setiap titik $y \neq 0$, sedangkan fiber over $0$ kosong.

Akhirnya biarkan $L$ menjadi porosnya $\{(t,0,0) \mid t \in k \} \subset \mathbf A^3$, dan biarkan $X=W \cup L \subset \mathbf A^3$. Kemudian proyeksi$X \rightarrow Y$ bersifat dugaan, dengan serat 1-dimensi di setiap $y \neq 0$, dan serat 0 dimensi berakhir $0 \in Y$.