Diperlukan tapi tidak cukup
Pertanyaan ini telah ditanyakan di sini dua kali, yaitu di sini dan di sini , tetapi tidak ada jawaban yang menjawab pertanyaan spesifik saya, kecuali mungkin untuk jawaban ini , yang mendekati.
Jadi, dengan menggunakan notasi jawaban dekat, saya tidak mengerti mengapa saya harus mengesampingkan tupel $(T,T)$ dan $(F,F)$.
Sebut saja kalimat "Q diperlukan tapi tidak cukup untuk P" R.
Adapun $(F,F)$, jika P salah sedangkan Q juga salah, ini akan menghasilkan R = benar; karena Q diperlukan untuk P, sehingga tidak adanya Q harus menyiratkan tidak adanya P. Mengapa saya ingin R palsu dalam kasus ini?
Dan untuk $(T,T)$, Saya akan membayangkan gambaran yang lebih lengkap. Katakanlah P bergantung pada Q dan beberapa faktor lain, yang secara kolektif dinamai W. Sekarang, kita harus membagi barisnya$(T,T)$menjadi 2, satu dengan W salah, dan satu lagi dengan W benar. Dalam kasus dengan W benar, R harus bernilai T, dan dalam kasus dengan W salah, R harus bernilai salah. Atas dasar apa kita harus memutuskan untuk mengesampingkan$(T,T)$dalam pernyataan aslinya! Menurut pendapat saya, baris dengan$(T,T)$ harus tidak dapat diputuskan.
Saya akan berterima kasih jika seseorang dapat menjelaskan kepada saya mengapa jawaban yang benar itu $¬(¬r∧¬p)→¬q∧¬((¬r∧¬p)→q)$ dengan cara lain itu
"perlu" diterjemahkan menjadi ini dan itu dan "cukup" diterjemahkan menjadi ini dan itu, jadi penghubung antara yang pertama dengan negasi yang kedua memberikan jawaban yang benar.
Terima kasih
Jawaban
Pernyataan "$P$ diperlukan untuk $Q$"berarti" untuk memiliki $Q$, kita harus punya $P$" atau $Q \to P$, meskipun kita juga bisa menulis kontrapositif $\neg P \to \neg Q$.
Pernyataan "$P$ cukup untuk $Q$"berarti" jika kita punya $P$, kami pasti punya $Q$" atau $P \to Q$, meskipun kita juga bisa menulis kontrapositif $\neg Q \to \neg P$.
Jadi, pernyataan "$P$ diperlukan tetapi tidak cukup untuk $Q$"dapat ditulis sebagai $$(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q).$$ Dalam contoh yang Anda berikan, $Q = q$ sementara $P = \neg r \land \neg p$ karena spesifik dari pertanyaan lain, dan jika kita menggantinya $P$ dan $Q$, kami mendapatkan pernyataan yang Anda kutip.
Jika Anda melihat pernyataan logis dengan hati-hati, ternyata $(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q)$ hanya benar dalam satu kasus: kapan $P$ itu benar, tapi $Q$salah. Mengapa demikian? Karena untuk mengamati$P$ tidak cukup untuk$Q$, $P$ harus terjadi, dan $Q$ masih harus gagal terjadi.
Ini tidak cocok dengan intuisi kami untuk apa "$P$ diperlukan tetapi tidak cukup untuk $Q$"artinya. Kami ingin mengatakan sesuatu seperti:
Ada beberapa kasus dimana $P$ terjadi, dan $Q$ tidak, karena $P$ tidak cukup untuk $Q$. Namun, dalam semua kasus di mana$Q$ terjadi, $P$ juga terjadi: $P$ diperlukan untuk $Q$.
Untuk mengatakan hal-hal seperti ini, bahasa pernyataan logis tidak cukup! Kita harus memiliki pembilang untuk membicarakan "beberapa kasus" dan "semua kasus".
Membiarkan $P(x)$ dan $Q(x)$ menunjukkan "dalam kasus $x$, $P$ memegang "dan" dalam kasus $x$, $Q$ memegang ". Lalu:
- "$P$ diperlukan untuk $Q$"artinya $\forall x\, Q(x) \to P(x)$.
- "$P$ cukup untuk $Q$"artinya $\forall x\, P(x) \to Q(x)$. Negasinya disederhanakan menjadi$\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)$.
Pernyataan "$P$ diperlukan tetapi tidak cukup untuk $Q$"memiliki interpretasi yang lebih canggih $$ (\forall x\, Q(x) \to P(x)) \land (\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)). $$ Yaitu: "Dalam semua kasus $x$ dimana $Q(x)$ memegang, $P(x)$juga memegang. Namun, ada kasus dimana$P(x)$ memegang, tapi $Q(x)$ tidak".
Pernyataan telanjang seperti $P(x) \land Q(x)$ tidak benar atau salah, karena $x$tidak dihitung. Pernyataan universal$\forall x\, P(x) \land Q(x)$ salah (karena jika tidak, $P$ akan cukup untuk $Q$), tetapi mungkin saja $\exists x\,P(x) \land Q(x)$adalah benar. Inilah yang ingin Anda katakan saat mengatakan "Menurut pendapat saya, bertengkar dengan$(T,T)$ should be undecidable ", tapi itu bukan hal yang bisa kita bicarakan tanpa bilangan: tanpa bilangan, baris tidak boleh tidak dapat diputuskan.
Masalahnya di sini adalah Anda memperlakukan implikasi material, yang dilambangkan dengan hubungan logis $\to$, seolah-olah itu adalah gagasan implikasi sehari-hari; tidak.
'$Q$ cukup untuk $P$'Tepatnya berarti jika $Q$ benar, kalau begitu $P$harus benar; kami meresmikan ini sebagai$Q\to P$. Jika$P$ dan $Q$ keduanya salah, ini hampa benar, karena tidak mengatakan apa pun tentang kebenaran $P$ kapan $Q$salah. Begitulah cara kerja implikasi material. Jadi,$R$ harus salah saat $P$ dan $Q$ keduanya salah, karena dalam kasus itu $Q$ adalah cukup untuk$P$.
Implikasinya juga benar bila keduanya $P$ dan $Q$ benar, hanya karena $P$adalah benar; sekali lagi, inilah cara kerja implikasi material. Dalam istilah intuitif, implikasinya$Q\to P$ memiliki nilai kebenaran $F$ hanya jika kepalsuannya benar-benar dapat ditunjukkan dari nilai-nilai kebenaran $P$ dan $Q$, dan itu hanya terjadi jika $Q$ benar dan $P$salah. Dalam semua kasus lain, nilai kebenarannya adalah$T$. Jadi,$R$ juga harus salah saat $P$ dan $Q$ keduanya benar.
Untuk mengatakan hal yang sama dengan kata-kata yang sedikit berbeda, tidak keduanya $(F,F)$ maupun $(T,T)$ mengesampingkan kemungkinan itu $Q$ cukup untuk $P$, dalam satu kasus karena kami tidak punya $Q$, dan dalam kasus lain karena kami memang punya $P$. Satu-satunya kasus yang benar-benar mengesampingkan kemungkinan itu$Q$ cukup untuk $P$ adalah $(F,T)$. Jika kami menegaskan, sebagai$R$ tidak, itu $Q$adalah tidak cukup untuk$P$, kami mengesampingkan kemungkinan itu $Q$ cukup untuk $P$, jadi kami menegaskan itu $P$ salah dan $Q$ adalah benar.