Diskresi polinomial integer
Hari ini saya hanya berpikir sangat sepele bahwa polinomial dengan koefisien integer memberikan nilai integer untuk input integer, jadi mereka berubah $\Bbb Z\to \Bbb Z$ (dan $\Bbb Q\to\Bbb Q$ untuk alasan).
Sekarang, ini membatasi bentuk polinomial secara menyeluruh karena menempel pada titik kisi quantised tertentu yang harus dilewati. Secara geometris setidaknya itu berarti turunan, dan dengan demikian akar dll hanya dapat dimiliki oleh sekumpulan kemungkinan terbatas yang sebagian dibatasi oleh fakta bahwa polinomial perlu diturunkan-n (nya$(n+1)-$turunan th harus $0$) dan pada saat yang sama harus melewati "kisi" integer.
Sekarang ini mungkin tampak konyol tetapi saya bertanya-tanya apakah ini kendala tambahan $\Bbb Z\to \Bbb Z$ pemetaan dapat digunakan untuk memperkuat teorema tertentu, atau jika itu lebih merupakan konsekuensi tautologis dan karenanya tidak dapat digunakan untuk memperkuat apapun.
Terima kasih atas wawasan atau petunjuk apa pun ke domain / teorema tertentu di area ini.
Jawaban
Ini adalah pertanyaan yang tidak jelas dan luas jadi saya akan menafsirkannya secara samar dan luas. Berikut beberapa fakta bagus tentang polinomial$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ yang tidak berlaku untuk polinomial yang lebih umum, yang dapat digunakan untuk membuktikan beberapa hal:
Fakta 1: $a - b \mid f(a) - f(b)$.
Sebagai contoh, $f(1) \equiv f(3) \bmod 2$Dan seterusnya. Ini adalah pengamatan yang mudah tetapi ini adalah batasan yang kuat dan berguna pada nilai yang dapat diambil oleh polinomial integer, dan khususnya ini menunjukkan bahwa tidak seperti di atas bidang, kita tidak dapat membuat polinomial integer mengambil nilai integer sewenang-wenang pada satu set terbatas poin. Ini dapat digunakan untuk memberikan bukti gaya Euclid dari fakta bahwa himpunan pembagi prima dari nilai$f$ harus tak hingga, yang pada gilirannya dapat digunakan untuk membuktikan, misalnya, bahwa himpunan bilangan prima kongruen dengan $1 \bmod 4$ tidak terbatas, dengan mengambil $f(x) = x^2 + 1$.
Fakta 2: Jika$f(x)$ adalah monik dan memiliki suku konstanta bukan nol maka ia memiliki setidaknya satu akar kompleks dari nilai absolut $1$. Karenanya jika Anda bisa menunjukkannya$f(x)$ memiliki satu akar seperti itu maka itu harus tidak dapat direduksi.
Ini dapat digunakan untuk membuktikan kriteria Perron , dan varian dari argumen ini digunakan pada MathOverflow (karena Bjorn Poonen melakukan observasi yang saya buat) untuk membuktikan bahwa polinomial$x^n + p_1 x^{n-1} + \dots p_{n-1}$ selalu tidak bisa direduksi, di mana $p_i$adalah bilangan prima! Argumen serupa juga membuktikan kriteria irredusibilitas ini yang merupakan campuran dari dua kriteria sebelumnya dan yang tidak memiliki nama yang saya ketahui.
Fakta 3: Jika$f(x)$ adalah monik dan memiliki suku tetap $\pm 1$ maka salah satunya memiliki setidaknya satu akar kompleks dengan nilai absolut lebih besar dari $1$ dan nilai absolut lainnya kurang dari $1$, atau semua akarnya memiliki nilai absolut dengan tepat $1$.
Dalam kasus terakhir ternyata semua akar sebenarnya harus menjadi akar persatuan (jadi$f$ harus merupakan produk salinan dari $x$dan polinomial siklotomik ); hal ini disebabkan oleh Kronecker dan Anda dapat menemukan buktinya di sini , yang sangat bergantung pada pengamatan bahwa ada banyak polinomial bilangan bulat yang terbatas pada derajat tertentu dengan batasan tertentu pada ukuran koefisien. Saya menggunakan pengamatan yang sama di sini untuk menunjukkan bahwa terdapat batas bawah nontrivial pada nilai absolut dari akar terbesar (dalam nilai absolut) dari polinomial monik$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ dengan suku konstan $\pm 1$.
Secara umum, menggunakan keleluasaan bilangan bulat adalah teknik pembuktian yang sangat umum dan ada banyak contoh meskipun sulit untuk mencarinya pada tingkat umum tersebut.