Diskrit pro. distribusi: binomial
Kita tahu bahwa untuk distribusi binomial, ketika kita ingin mengetahui berapa banyak hasil dari suatu peristiwa yang terjadi daripada menggunakan diagram pohon, kita dapat menggunakan pilihan, atau kombinasi. Sebagai contoh, biarkan variabel acak X mewakili jumlah kepala setelah koin dilemparkan tiga kali, dan kita ingin mengetahui probabilitasnya. kepala keluar sekali.
Kita akan mengatakan, Pr (X = 1) = 3C1 kali ... prob. masa sukses prob. kegagalan.
Karena kita tahu bahwa ada tiga cara untuk memilih satu kepala. Dari diagram pohon: HNN, NNH, NHN. H = kepala, N = Tidak ada kepala.
Pertanyaan saya adalah mengapa benar menggunakan kombinasi ketika jelas bahwa kita tidak menggunakan kombinasi untuk hal-hal yang penting urutannya. Di sini kita dapat melihat bahwa karena HNN, NNH, NHN ini adalah benda-benda berbeda yang mengandung unsur yang sama dari satu kepala, dan dua kepala, maka jelaslah bahwa keteraturan itu penting. Mengapa kita tidak bisa menggunakan permutasi sebagai gantinya?
Jawaban
Permutasi menghitung pengaturan objek yang berbeda . Unsur-unsur urutan kepala dan ekor tidak dapat dibedakan jika urutannya memiliki panjang lebih dari dua.
Misalnya, jumlah permutasi huruf dari kata COUNT, yang memiliki lima huruf berbeda, adalah $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$ dan jumlah permutasi tiga huruf dari huruf dari kata COUNT adalah $$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
Di sisi lain, jumlah permutasi yang dapat dibedakan dari huruf-huruf dari kata DISTRIBUSI, di mana tidak semua hurufnya berbeda, adalah $$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$karena kita harus memilih tiga dari dua belas posisi untuk Is, dua dari tujuh posisi tersisa untuk Ts, dan kemudian menyusun tujuh huruf berbeda D, S, R, B, U, O, N di tujuh posisi yang tersisa. Faktor$3!$dalam penyebut mewakili jumlah cara kita dapat mengubah Is di antara mereka sendiri dalam pengaturan tertentu tanpa menghasilkan pengaturan yang dapat dibedakan dari pengaturan yang diberikan; faktor$2!$ dalam penyebut mewakili jumlah cara kita dapat mengubah Ts di antara mereka sendiri dalam pengaturan tertentu tanpa menghasilkan pengaturan yang dapat dibedakan dari pengaturan yang diberikan.
Dalam contoh Anda, kami menggunakan kombinasi karena urutan kepala dan ekor sepenuhnya ditentukan dengan memilih posisi kepala, karena posisi urutan yang tersisa harus diisi oleh ekor.
Secara umum, dalam masalah distribusi binomial, kami mendefinisikan salah satu hasil untuk menjadi sukses dan hasil lainnya menjadi kegagalan. Kemungkinan mendapatkan dengan tepat$k$ sukses di $n$ percobaan, masing-masing dengan probabilitas $p$ sukses adalah $$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$ dimana $p^k$ adalah probabilitas $k$ sukses, $(1 - p)^{n - k}$ adalah probabilitas $n - k$ kegagalan, dan $\binom{n}{k}$ menghitung jumlah cara itu $k$ kesuksesan dapat terjadi di $n$uji coba. Perhatikan bahwa memilih yang mana$k$ dari $n$ uji coba adalah keberhasilan yang sepenuhnya menentukan hasil jika ada $k$ sukses sejak tersisa $n - k$ cobaan harus menghasilkan kegagalan.