Dua versi dari Teorema spektral?
Saya mempelajari Teorema spektral (untuk operator self-adjoint terikat) sendiri dan saya mengikuti buku bagus Nik Weaver . Izinkan saya memperkenalkan beberapa notasi terlebih dahulu.
Notasi: Jika$\mathcal{H}$ adalah ruang Hilbert, $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ adalah (Banach space) dari semua operator linier berbatas $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. Jika$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $\mbox{sp}(A)$ adalah spektrum $A$.
Sekarang, ayo $(X, \mathcal{F},\mu)$ menjadi a $\sigma$-Ruang ukuran terbatas. Kumpulan Hilbert yang terukur$X$ adalah persatuan terputus: $$\mathcal{X} = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}(X_{n}\times \mathcal{H}_{n}) $$ dimana $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ adalah partisi yang dapat diukur $X$ dan, untuk masing-masing $0 \le n \le \infty$, $\mathcal{H}_{n}$ adalah ruang Hilbert dengan dimensi $n$.
Akhirnya, $f: X \to \mathcal{H}$ lemah terukur jika fungsinya $x \mapsto \langle f(x),v\rangle$ dapat diukur untuk setiap $v \in \mathcal{H}$. Kami menunjukkan$L^{2}(X;\mathcal{H})$ himpunan semua fungsi yang dapat diukur secara lemah $f: X \to \mathcal{H}$ seperti yang: $$||f|| := \int_{x}||f(x)||^{2}d\mu(x) < +\infty $$fungsi modulo yang nol hampir di semua tempat. Ini adalah ruang Hibert dengan produk dalam:$$\langle f,g\rangle := \int_{x}\langle f(x),g(x)\rangle d\mu(x) $$ Jika $f \in L^{2}(X;\mathcal{H})$, $M_{f}$ adalah perkalian operator dengan $f$. Juga,$L^{2}(X;\mathcal{X}) := \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}L^{2}(\mathcal{X}_{n};\mathcal{H}_{n})$.
Sekarang, pernyataan Teorema spektral dalam referensi ini adalah sebagai berikut.
Teorema: Biarkan$\mathcal{B}(\mathcal{H})$menjadi self-adjoint. Lalu ada ukuran probabilitas$\mu$ di $\mbox{sp}(A)$, bundel Hilbert yang terukur $\mathcal{X}$ lebih $\mbox{sp}(A)$ dan isomorfisme isometrik $U: L^{2}(\mbox{sp}(A);\mathcal{X}) \to \mathcal{H}$ seperti yang $A = UM_{x}U^{-1}$.
Namun, saya lebih tertarik dengan versi lain dari Teorema ini, yang dinyatakan dalam buku Dimock dan seperti itu (dengan notasi yang disesuaikan)
Teorema: Biarkan$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$menjadi self-adjoint. Kemudian, ada ruang ukur$(\mathcal{M},\mathcal{\Omega},\mu)$, fungsi terukur yang dibatasi $\tau: \mathcal{M}\to \mathbb{R}$ dan operator kesatuan $U: \mathcal{H}\to L^{2}(\mathcal{M},\mu)$ seperti yang $A = UM_{\tau}U^{-1}$.
Pertanyaan: Bagaimana cara mendapatkan Teorema spektral versi Dimock dari versi Weaver?
Jawaban
Membiarkan $\mathcal{M}$ menjadi persatuan terputus yang terdiri dari $n$ salinan $X_n$ untuk setiap $n$. Ukuran yang diberikan pada$\mbox{sp}(A)$ membatasi ukuran pada $X_n$ dan dengan demikian menginduksi pengukuran $\mathcal{M}$. Kemudian ada isomorfisme$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$: jika Anda memilih dasar ortonormal untuk masing-masing $\mathcal{H}_n$, kemudian $L^2(X_n;\mathcal{H}_n)$ hanyalah jumlah langsung dari $n$ salinan $L^2(X_n)$, dan saat Anda mengambil jumlah langsung dari semuanya $n$ Anda mendapatkan $L^2(\mathcal{M})$. Isomorfisme ini$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$ ternyata perkalian dengan $x$ di $\mbox{sp}(A)$ perkalian dengan fungsi $\tau$ di $\mathcal{M}$ yang diberikan oleh fungsi inklusi $X_n\to\mathbb{R}$ pada setiap salinan masing-masing $X_n$.
(Alternatifnya, tanpa langsung menggunakan versi Weaver, versi Dimock mengikuti dengan menggunakan bukti yang sama seperti yang dilakukan Weaver tetapi menggunakan Teorema 3.4.2 alih-alih Corollary 3.4.3. Weaver sendiri mengomentari hal ini (karena ini berlaku dalam kasus yang tidak dapat dipisahkan seperti baik) di bagian atas halaman 62.)