Eigenvalues ​​dan Singular Values ​​dari Negative Definite Matrix

Question

Jika $A$ pasti positif ($A^T=A$ dan $\lambda_i(A)>0$) lalu nilai singularnya $\sigma_i(A)$ bertepatan dengan nilai eigen $\lambda_i(A)$. Fakta ini dibuktikan dalam jawaban lain , dan itu membuat saya penasaran apakah hal yang sama (atau serupa) terjadi kapan$A$ pasti negatif $(A^T=A$ dan $\lambda_i(A)<0$).

Answer 1

Nilai tunggal selalu non-negatif, tetapi nilai eigen dari matriks pasti negatif selalu negatif. Jadi, nilai singular tidak mungkin sama dengan nilai eigen dalam kasus ini.

Namun, secara umum, kapan $A$ normal (ini termasuk kasus di mana $A$ adalah pasti negatif), nilai singularnya persis merupakan modulus dari nilai eigennya, yaitu $\sigma_k(A)=|\lambda_(A)|$. Membiarkan$\lambda_1(A),\ldots,\lambda_n(A)$ menjadi nilai eigen $A$ dan biarkan $\lambda_k(A)=|\lambda_k(A)|e^{i\theta_k}$ untuk setiap $k$. Sejak$A$ normal, dapat diagonalisasi secara unitar $A=U\Lambda U^\ast$. Karena itu$A=(UD)|\Lambda|U^\ast$ adalah dekomposisi nilai singular $A$, dimana $|\Lambda|=\operatorname{diag}(|\lambda_1(A)|,\ldots,|\lambda_n(A)|)$ dan $D=\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n})$. Oleh karena itu, nilai singular dari$A$ adalah $|\lambda_1(A)|,\ldots,|\lambda_n(A)|$.

Answer 2

Jika $A$ jadi pasti negatif $B=-A$ pasti positif dan $BB^T = AA^T$. The nilai-nilai singular dari$B$ karena itu sama dengan salah satu $A$ dan juga nilai eigen $A$ menurut hasil yang Anda sebutkan.

Sedangkan nilai eigen $B$ adalah kebalikan dari salah satu $A$.

Akhirnya, nilai singular $A$adalah kebalikan dari nilai eigennya. Ini hanya mengatakan itu$\sqrt{\vert \lambda \vert} = \sqrt{- \lambda}$ untuk $\lambda \le 0$.

Answer 3

Menurut definisi $\sigma_i(A)=\sqrt{\lambda_i(A^TA)}$. Jika$A=A^T$ kemudian $\sigma_i(A)=\sqrt{\lambda_i(A^2)}$. Dengan dekomposisi awal$A=U\Sigma U^T$ kami melihat itu $A^2=U\Sigma^2 U^T$ begitu $\lambda_i(A^2)=\lambda_i(A)^2$. Kami menyimpulkan itu$\sigma_i(A)=\sqrt{\lambda_i(A)^2}=|\lambda_i(A)|$. Ini benar untuk matriks simetris pada umumnya, kita tidak perlu berasumsi$A$ pasti positif atau negatif.