Escape the Plane
Suatu Minggu pagi, Anda bangun dan mendapati diri Anda benar-benar sendirian di pesawat datar yang tak terbatas. Anda tidak ingat banyak tentang malam sebelumnya, selain itu Anda mungkin telah membuat marah seorang penyihir. Di sebelah Anda, Anda menemukan palet dengan warna tak terbatas yang tak terhitung jumlahnya, dan sebuah catatan, yang memerintahkan Anda sebagai berikut:
Anda harus melukis setiap titik pada bidang ini, sehingga saya tidak akan pernah bisa menemukan segitiga dengan simpul dengan warna dan luas rasional yang sama.
Jika Anda dapat mengelola tugas ini, wizard akan membebaskan Anda - gagal, dan Anda terjebak selamanya. Anda tidak meragukan kemampuan penyihir, jadi tidak ada trik murahan di sini. Mempertimbangkan masalahnya, Anda mulai bekerja - dan waktu yang tak terhitung jumlahnya kemudian, penyihir berdiri di samping Anda, mengagumi hasil karya Anda.
Apakah wizard membebaskan Anda?
EDIT: Untuk menghilangkan jawaban berpikir lateral berdasarkan framing pertanyaan, berikut adalah pernyataan matematika formal dari teka-teki tersebut:
Apakah ada pewarnaan $\mathbb{R}^2$ sedemikian rupa sehingga tidak mungkin menemukan segitiga dengan simpul dengan warna yang sama dan luas rasional?
Jawaban
Supertask yang sangat menarik.
Dalam bidang 2D, tiga titik nonkolinear membuat segitiga, jadi gunakan hanya 2 titik untuk setiap warna. Karena Anda memiliki warna yang tidak terbatas, Anda tidak akan pernah kehabisan warna. Namun, ini tidak menyelamatkan kita dari kematian kita, karena tugas ini akan memakan waktu yang tak terhitung banyaknya, membuat kita terjebak di dalam pesawat. Jadi, kita harus mendekati ini seperti tugas super. Warnai titik pertama dalam 1 menit, cat titik kedua di separuh waktu, cat titik ketiga di separuh titik kedua, dll. Hanya dalam dua menit, dan berapa lama pun wizard perlu memeriksa, Anda akan bebas dari pesawat!
Edit:
Solusi di atas mengalami masalah yaitu Anda kehabisan warna karena ada jumlah titik yang tak terhingga jumlahnya $\mathbb{R}^2$dan ada warna yang tak terhingga banyaknya. Saya bisa sedikit lebih dekat dengan meningkatkan warna nomor saya. Alih-alih memikirkan warna sebagai percikan cat terpisah yang diberikan wizard kepada saya, saya sekarang akan mempertimbangkan panjang gelombang cahaya yang dipantulkan pigmen (sama sekali mengabaikan cara kerja pencampuran cat di sini). Sekarang, di setiap langkah supertask, campur cat sedemikian rupa sehingga Anda mendapatkan warna baru (misalnya pada langkah 1 Anda menggunakan cat dengan$700nm$, pada langkah 2 Anda menggunakan cat dengan $700.\bar01nm$, dll.). Sekarang Anda memiliki warna cat yang tak terhitung banyaknya. Namun, saya merasa seolah-olah bidang itu penuh dengan titik-titik 2 dimensi yang tak terhingga$\mathbb{R}^2$, sedangkan saya hanya memiliki cat dengan $\mathbb{R}>0$, jadi warna saya masih kurang.
Sesungguhnya ini sederhana
Anda memiliki warna yang tidak terbatas sehingga Anda menggunakan setiap warna hanya sekali. Anda belum menentukan apakah 'poin' adalah poin yang benar. Jika itu adalah titik sebenarnya pada sebuah pesawat maka mereka tidak memiliki dimensi sehingga Anda tidak dapat mengecatnya. Bahkan 1 molekul cat tidak dapat digunakan.
atau
Jika Anda dapat mengelola tugas ini, wizard akan membebaskan Anda - gagal, dan Anda terjebak selamanya.
Mengingat bahwa tugas tersebut akan berlangsung selamanya, Anda terjebak selamanya melakukan tugas tersebut, tidak ada wizard yang tidak akan membebaskan Anda.
atau
Anda melukis garis lurus satu warna dengan panjang tak terhingga. Tidak akan ada segitiga yang memiliki tiga simpul dengan warna yang sama.