Functor yang tidak kontinyu / mulus

Question

Membiarkan $\mathbf{FinVec}$ menunjukkan kategori ruang vektor nyata berdimensi-hingga dan peta linier, misalkan $F\colon\mathbf{FinVec}\rightarrow\mathbf{FinVec}$menjadi seorang functor. Untuk setiap pasang objek$V,W$, Hom-set $\operatorname{Hom}(V,W)$merupakan ruang vektor berdimensi-hingga dan kami melengkapinya dengan struktur unik ruang topologi / lipatan halus yang kompatibel dengan struktur ruang vektornya. Peta komposisi kemudian berlanjut / mulus. Dengan cara ini, kami memandang$\mathbf{FinVec}$ sebagai diperkaya atas kategori tersebut $\mathbf{Top}$/$\mathbf{Diff}$masing-masing. Maka masuk akal untuk menanyakan apakah functor$F$ diperkaya $\mathbf{Top}$/$\mathbf{Diff}$. Itu hanya untuk menanyakan apakah peta induksi$F\colon\operatorname{Hom}(V,W)\rightarrow\operatorname{Hom}(FV,FW)$ terus menerus / mulus untuk semua $V,W$.

(Tidak relevan dengan pertanyaan lainnya, tetapi alasan ini merupakan gagasan yang berguna adalah bahwa ini adalah hipotesis alami yang memastikan bahwa functor menginduksi functor lain pada kategori bundel vektor topologi / halus, menerapkan functor asli secara fiberwise.)

Dalam kasus ini $V=W$, berdasarkan fungsi, kami dapat membatasi $F$ ke homomorfisme kelompok $\operatorname{GL}(V)\rightarrow\operatorname{GL}(V)$. Jika fungtornya kontinu / mulus, begitu juga dengan peta ini. Catat itu$\operatorname{GL}(V)$adalah grup Lie. Ini adalah hasil umum bahwa homomorfisme grup yang dapat diukur antara grup Lie otomatis mulus. Ini menimbulkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Apa argumen untuk keberadaan fungsi yang tidak kontinu? Bisakah kita membuatnya? Diberikan di atas, itu baik terjadi bahwa pembatasan$\operatorname{GL}(V)\rightarrow\operatorname{GL}(V)$ kontinu dan kontinuitas gagal di tempat lain, atau peta induksi tidak dapat diukur, sehingga konstruksi harus melibatkan pilihan sampai batas tertentu.
2. Apakah ada fungsi berkelanjutan yang tidak lancar? Diberikan di atas, functor berkelanjutan akan memiliki batasan yang mulus untuk$\operatorname{GL}(V)\rightarrow\operatorname{GL}(V)$, tetapi kelancaran mungkin gagal di tempat lain.

Answer 1

Kembalikan Monica memberikan konstruksi di komentar untuk pertanyaan yang saya tautkan di komentar (Saya tidak bisa menutup sebagai duplikat karena pertanyaan itu tidak memiliki jawaban yang disukai atau diterima): pertama, kategori $\text{FinVec}(\mathbb{C})$ ruang vektor kompleks berdimensi-hingga memiliki fungsi ujung terputus-putus yang diberikan dengan menarik kembali sepanjang automorfisme terputus-putus $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Kedua, ini menimbulkan kerusakan yang tidak berkesinambungan dari$\text{FinVect}(\mathbb{R})$ diberikan dengan mengomplekskan, menerapkan salah satu automorfisme ini, kemudian membatasi kembali ke ruang vektor nyata dua kali dimensi.

Saya menduga setiap endofunctor kontinu mulus, dan sebenarnya saya curiga setiap endofunctor berkelanjutan adalah jumlah (mungkin tak terbatas) dari fungsi Schur , dan karenanya bahkan polinomial (maksud saya peta yang diinduksi)$\text{Hom}(V, W) \to \text{Hom}(F(V), F(W))$bersifat polinomial; ada beberapa kemungkinan definisi lain dan menurut saya mereka tidak setuju secara umum). "Kemungkinan tak terbatas" adalah menangani contoh seperti aljabar luar$V \mapsto \wedge^{\bullet}(V)$.