Gerakan Brown

Question

Jika $A_t$ dan $B_t$ adalah gerakan Brownian independen dan $a$ adalah angka, dapatkah kita mengatakan itu $(\sin a )A_t+ (\cos a) B_t$ juga merupakan gerakan Brown?

Answer 1

Jika $A_t$ dan $B_t$ adalah gerakan Brownian independen $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ adalah proses Gaussian terpusat (karena kemerdekaan, $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ memiliki hukum $N(0,(\sin(a)^2+\cos(a)^2)t)=N(0,t)$ di tetap $t$) dan kovariansi proses tersebut

$$K(s,t)=\operatorname{Cov}(\sin(a)A_s+\cos(a)B_s,\sin(a)A_t+\cos(a)B_t)=\sin(a)^2s\wedge t+\cos(a)^2s\wedge t+0=s\wedge t$$

Dimana $s\wedge t$ (minimal $s$ dan $t$) berasal dari fakta bahwa $A_t$ dan $B_t$ adalah gerakan Brown dan $0$ berasal dari fakta itu $A_t$ dan $B_s$ mandiri.

Kami telah menunjukkan itu $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ adalah proses Gaussian terpusat dengan kovarians $K(s,t)=s\wedge t$. Jelas lintasannya masih kontinu karena perkalian dengan konstanta menjaga kontinuitas dan jumlah dua fungsi kontinu adalah kontinu. Ini mencirikan gerakan Brown, jadi ya, ini sekali lagi adalah gerakan Brown.