GIT dan singularitas

Question

Membiarkan $G$ menjadi kelompok reduktif kompleks yang bekerja pada variasi affine yang kompleks $X$ dan biarkan $X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$ jadilah hasil bagi GIT.

Apakah ada hubungan antara lokus tunggal $X$ dan itu dari $X // G$?

Tentu saja, $X//G$ bisa sangat tunggal sementara $X$halus. Tapi, misalnya, saya bertanya-tanya apakah (atau dalam kondisi apa) titik tunggal$X$ dipetakan ke titik tunggal dari $X // G$.

Sunting. Komentar bagus Spenser di bawah ini menunjukkan bahwa jawaban untuk pertanyaan terakhir adalah tidak. Tapi mungkin pertanyaan yang lebih baik dan lebih tepat adalah: Jika$X // G$ bukan tunggal di $y$, apakah ada yang non-tunggal $x \in X$ pemetaan ke $y$? Dengan kata lain, lakukan semua serat$X \to X // G$ di titik non-singular mengandung titik non-singular dari $X$? Saya bersedia mengasumsikan sifat tidak dapat direduksi atau sifat bagus lainnya.

Answer 1

Ini adalah jawaban atas pertanyaan yang direvisi. Ini adalah contoh balasan paling sederhana yang dapat saya pikirkan di mana kelompok reduktif mulus dan terhubung, di mana$X$ adalah normal dan affine, dan di mana $Y=X//G$ mulus, meskipun ada serat peta hasil bagi yang terkandung dalam lokus tunggal $X$.

Membiarkan $Y$ menjadi $\text{Spec}\ k[x,y,z]$, yaitu affine $3$-ruang. Membiarkan$G$ menjadi kelompok unit perkalian, $G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. Membiarkan$X$ menjadi $\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$ dimana $f$ adalah polinomial, $$f=s^2+t(xz-y^2).$$ Biarkan tindakan $G$ di $X$ didefinisikan oleh $$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$ Cincin $G$polinomial varian adalah subring, $$k[X]^G = k[x,y,z].$$ Peta hasil bagi hanyalah proyeksi biasa, $$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$ Untuk Zariski yang padat terbuka $U = D(xz-y^2)\subset Y$, gambar terbalik $q^{-1}(U)$ adalah $G$-tor atau berakhir $U$.

Lokus tunggal $X$ adalah single $q$-serat, $q^{-1}(0,0,0)$. Meskipun asalnya adalah titik mulus$Y$, setiap poin dari ini $q$-fiber adalah titik tunggal dari $X$.