Harapan dan Kemandirian

Question

Misalkan kita memiliki tiga variabel acak bebas X, Y dan Z dimana $X$ dan $Y$ didistribusikan secara identik dan $Z$memiliki distribusi simetris sekitar nol. Secara intuitif, orang akan percaya itu
$$ \Pr(X\le Z |Y\le Z) = \Pr(X\le Z) $$karena kemerdekaan. Namun, saya tidak tahu harus mulai dari mana untuk membuktikannya. Jika kondisi kita sudah selesai$Z$, maka kami berakhir dengan integral yang tidak perlu disederhanakan lebih lanjut: $$ \int_z\Pr(X\le z ,Y\le z) dP(z) = \int_z\Pr(X\le z)\Pr(Y\le z) dP(z) $$Ada petunjuk? Apakah itu benar?

Answer 1

Ini tidak benar secara umum, pertimbangkan kasus di mana $Y$adalah sebuah konstanta. Dalam hal ini, pengkondisian pada peristiwa itu kurang dari$Z$ memberi Anda informasi tentang nilai $Z$.