Harga Tanpa Arbitrase

Question

Kami memiliki kontrak yang nilainya $A(S_t,t) = S_t^3$ setiap saat, tidak hanya saat kedaluwarsa. $S_t$, stok yang mendasari, mengikuti Gerak Brown geometris, $\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dB$. Bagaimana kami akan menunjukkan bahwa ini tidak konsisten dengan harga tanpa arbitrase?

Saya pikir solusi potensial adalah menunjukkan bahwa itu bukan Martingale di bawah Q-measure. Pada dasarnya, kami mulai dengan asumsi itu$A(S_t, t)$ adalah Martingale, yang menyiratkan itu$e^{-rt}E^Q[A_t] = A_0 = S_0^3$. Tapi, di bawah ukuran risiko netral, kami tahu itu$S_t = S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t + \sigma \sqrt{t} Z^Q}$ dimana $Z$adalah standar normal. Ini mengikuti itu$A(S_t, t) = S_t^3 = S_0^3e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$. Menghitung ekspektasi$e^{-rt}E^Q[S_t^3] = S_0^3 e^{-rt}\int_{z^*}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-z^2}{2}}e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$ kami dapatkan $S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t}$. Karena$S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t} \neq S_0^3$ kami menyimpulkan itu $A(S_t, t)$ bukan Martingale, jadi fakta bahwa kontrak itu memiliki nilai $S_t^3$ selalu tidak konsisten dengan harga tanpa abitrase.

Apakah sesuatu seperti ini berhasil? Bantuan apa pun akan sangat dihargai. Terima kasih.

Answer 1

Di bawah tindakan bebas risiko dengan penerapan Ito: $$ dS^3_t = 3 \left[ (r + \sigma^2)S^3_t dt + \sigma S^3_t dW_t \right] $$ Penyimpangan risiko netral bukanlah tingkat bebas risiko dan karenanya $S_t^3 \; \forall t$ tidak bisa menjadi harga klaim atau aset yang dapat diperdagangkan lainnya.

Jadi pada dasarnya sepanjang garis yang sama dengan pembuktian Anda, tetapi tanpa menghitung ekspektasi dll. Hanya perlu melihat penyimpangan lokal.