(Hyper) volume kubus demi (hyper)

Question

The demihypercube dibentuk dengan mengambil convex hull dari himpunan titik-titik di$\{0, 1\}^n$ dengan bilangan genap $1$s. Ini dapat dianggap sebagai mengambil hypercube, dan memotong simpul "setiap lainnya".

Contoh

Misalnya, file $3$-demihypercube (yang juga merupakan tetrahedron biasa) dapat dijelaskan dengan simpul $(0,0,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, dan $(1,1,0)$.

Itu $4$-demicube adalah $16$-sel .

---

Pertanyaan

Berapakah hypervolume dari demihypercube di bawah konstruksi ini?

(Saya tidak dapat menemukan informasi ini di Wikipedia atau di mana pun, dan saya ingin tahu sebagian karena ini berkaitan dengan pertanyaan saya "https://math.stackexchange.com/q/3813522/121988".)

Answer 1

Ini mungkin pendekatan yang naif.

Setengah kubus adalah kubus, tetapi seperti yang Anda katakan, dengan $2^n/2=2^{n-1}$dari simpulnya "terputus". Berapa banyak yang kita potong setiap kali? Kami memotong simplex yang direntang oleh vektor basis standar$e_1,...,e_n$, volumenya adalah $1/n!$.

Jadi setengah kubus (dibangun dari kubus dengan panjang sisi 1) harus memiliki volume

$$V_n = 1-\frac{2^{n-1}}{n!}.$$

Jawaban Anda tidak tepat. Tapi mungkin perbedaannya hanya pada skala kubus awal.

Answer 2

Sebagaimana dikomentari oleh Jean Marie , rumus tersebut muncul di bagian bawah halaman 26 di makalah "Produk volume benda cembung dengan banyak kesimetrian hyperplane" oleh Franck Barthe dan Matthieu Fradelizi:

Demihiperkubus diperoleh dari kubus dengan memotong $2^{n-1}$ sederhana yang simpulnya adalah simpul $x \in \{-1; 1\}^n$ dari kubus seperti itu $\prod x_i = -1$ dan itu $n$tetangga. Mereka memiliki sudut yang tepat$x$ dan panjang tepi yang melewati titik ini adalah $2$ jadi $$ |DH_n| = 2^n - 2^{n-1} \times \frac{2^n}{n!} = 2^n\left(1 - \frac{2^{n-1}}{n!}\right). $$

Catatan, penulis mendefinisikan demihypercube pada titik cembung lambung dengan koordinat $\{-1, 1\}$, jadi untuk mendapatkan volume bangunan dalam soal, bagi dengan faktor $2^n$, menghasilkan $$ 1 - \frac{2^{n-1}}{n!}. $$

---

Edit: kutipan asli yang saya ambil dari kertas memberikan produk volume , bukan volume seperti yang saya minta dalam pertanyaan. Jawaban ini telah dikoreksi untuk mencerminkan ini.