$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ untuk setiap teori $T$, setiap kardinal $\lambda$.

Question

Membiarkan $T$ menjadi teori urutan pertama yang lengkap.

Asumsi $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, apakah itu jelas $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? Pertanyaan itu dipicu dengan melihat dugaan Vaught di wikipedia. Saya tidak memiliki banyak pengetahuan teori model jadi mungkin sudah jelas dan saya hanya menjadi bodoh atau mungkin menggunakan teknologi yang belum saya bahas. Atau ini mungkin hanya benar jika$\lambda = \aleph_0$ ?

Satu-satunya hal yang dapat saya pikirkan adalah menghitung jumlah model non-isomorfik berdasarkan jenis yang mereka penuhi, tetapi menurut saya itu tidak cukup berhasil.

Answer 1

Dalam pengaturan yang Anda gambarkan paling banyak $2^\lambda$ $L$-struktur, dan tentu saja tidak lebih dari $2^\lambda$ kelas isomorfisme model $T$.

Perbaiki a $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, dan biarkan $M$ menjadi satu set kardinalitas $\lambda$.

Untuk setiap $n$simbol fungsi -ary $f$ kita harus menafsirkan $f$ sebagai suatu fungsi $f : M^n \to M$. Tepatnya ada$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$banyak fungsi yang dapat dipilih. Begitu pula untuk masing-masing$n$simbol hubungan -ary yang kita miliki $2^\lambda$ pilihan untuk dipilih, dan untuk setiap simbol konstanta yang hanya kita miliki $\lambda$ pilihan untuk dipilih.

Jadi untuk setiap simbol dalam bahasa yang paling banyak kita miliki $2^\lambda$pilihan. Karena ada paling banyak$\lambda$ simbol dalam bahasa, jumlah pilihan yang harus kita buat paling banyak $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.