Integral Riemann dan integral Cauchy

Question

Lakukan latihan berikut yang diambil dari buku:

http://93.174.95.29/main/DD7D07B152D8622B441B7E63F9D4461E

https://libgen.lc/ads.php?md5=091431F03323DE6C347E43D0475FC387

(lihat halaman 14).

Pertimbangkan fungsi yang didefinisikan di $[-1,0]$ oleh $f(x) = 1/\sqrt(-x)$ di $[-1,0)$ dan, $f(0) =0$. Karena fungsi ini tidak dibatasi$[-1,0]$, integral Riemann tidak ada. Tunjukkan bahwa, bagaimanapun, integral Cauchy dari fungsi ini selama interval ini memang ada.

Untuk bagian Riemann, tidak apa-apa. Untuk bagian Cauchy, saya ingin menunjukkan itu untuk urutan apa pun$(x_k)_{1\le k\le n}$ seperti yang $-1=x_0<x_1<\dots<x_n=0$, kita punya $$\sum_{k=1}^n\frac{x_k-x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}<\infty$$ kapan $k\to \infty$.

Saya menipu dan menulis itu $$\sum_{k=1}^n\frac{x_k-x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}<\int_{-1}^0\frac{1}{\sqrt{x}}=2$$ dan saya menyimpulkan.

Apa cara yang benar untuk melakukannya?

Answer 1

Integral Riemann dan Cauchy keduanya ada $[-1,-c]$ dimana $c > 0$, sejak $f$ dibatasi dan berkelanjutan pada interval itu.

Untuk apapun $\epsilon > 0$ disana ada $\delta > 0$ sedemikian rupa sehingga untuk partisi $P: -1 = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} = -c$ dengan $\|P\| < \delta $, kita punya

$$2(1- \sqrt{c})- \epsilon = \int_{-1}^{-c}\frac{dx}{\sqrt{-x}}- \epsilon \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}\leqslant \int_{-1}^{-c}\frac{dx}{\sqrt{-x}}+ \epsilon = 2(1- \sqrt{c})+ \epsilon$$

Dengan $x_n = 0$ kita punya

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}= \frac{0- (-c)}{\sqrt{c}}+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}= \sqrt{c}+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}$$

Jadi,

$$-\epsilon/2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -(2 - \sqrt{c}) \leqslant \epsilon/2,$$

dan ketika norma partisi penuh $P': -1 = x_0 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = 0$ cukup kecil, kami memiliki keduanya $\|P\| < \delta$ dan $\sqrt{c} < \epsilon /2 $

$$\left| \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -2 \right| \leqslant \left| \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -(2-\sqrt{c}) \right| + \sqrt{c}\leqslant \sqrt{c} + \epsilon/2 < \epsilon$$