Interpretasi Catatan Variasi

Question

Saya ingin penjelasan tentang bagaimana turunan parsial Lagragian ini diambil (persamaan 3). Ini mungkin lebih cocok untuk Matematika Stack Exchange, namun ini untuk kursus fisika itulah sebabnya saya memposting di sini. Berdasarkan definisi ekspansi Taylor:

Saya tidak mengerti bagaimana atau mengapa hanya yang parsial saja $q_i$ dan tidak semua variabel lain untuk suku kedua, bersama dengan mengapa hanya wrt $\dot{q}_i$dalam istilah ketiga. Terlebih lagi, tampaknya tidak ada konstanta yang dikalikan terhadap setiap fungsi atau apapun itu$(x-a)$istilah bisa. Turunan lengkapnya ditentukan dalam persamaan. 5 tetapi tidak cocok dengan turunan lengkapnya di persamaan. 3 harus:

Penjelasan lengkap dari matematika akan dihargai, atau setidaknya penjelasan umum, formulaik.

Answer 1

Definisi deret Taylor dalam satu variabel hingga turunan orde pertama adalah

$$ f(x) = f(a) + \frac{\partial f}{\partial x}(a)(x-a) $$

Perhatikan bahwa kami mengabaikan istilah tingkat tinggi. Dalam dua variabel ini akan terlihat seperti ini

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)(x_1-a_1)+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)(x_2-a_2) $$

Mari kita ubah notasi sehingga $\delta x = (x-a)$, yang menunjukkan pergeseran sangat kecil dalam parameter. Seri Taylor di atas adalah

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)\delta x_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)\delta x_2 $$

Sekarang, apa yang terjadi jika kita memiliki banyak variabel? Kita dapat memodifikasi ekspresi di atas menjadi

$$ f(\vec x) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f(\vec a)}{\partial x_i}\delta x_i $$

Sekarang, apa yang terjadi jika setengah dari variabel secara alami dikelompokkan bersama (semua posisi dan semua kecepatan juga), mengapa kita tidak menulis ini untuk setiap dimensi $i$, secara khusus menarik kedua jenis variabel!

$$ f(x_1, \dots,x_n,y_1,\dots ,y_n) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec a)\delta x_i+ \sum_i\frac{\partial f}{\partial y_i}(\vec a)\delta y_i $$

tetapi, dengan notasi penjumlahan Einstein, kita tahu bahwa penjumlahan tersirat sehingga kita bisa menghilangkan tanda penjumlahan jika kita mau.

Tindakan ditentukan oleh

$$ S = \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

dimana $q_i$ dan $v_i$adalah posisi dan kecepatan di setiap dimensi. Variasi dalam aksi adalah deret Taylor urutan pertama dalam posisi dan kecepatan dikurangi aksi tak terputus.

$$ \delta S = \int dt\bigg\{L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t) + \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} - \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

Yang menyederhanakan menjadi

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} $$

Yang mana hasil akhirmu. Untuk sampai pada persamaan Euler-Lagrange, kita dapat mengaturnya$v_i=\dot q_i$ (Yaitu hanya ketika kecepatan adalah turunan waktu dari posisi adalah solusi jalur ekstrem dari tindakan, tapi itu hanya detail).

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta \dot q_i\bigg\} $$Untuk melanjutkan dengan ekspresi ini, penting untuk mengumpulkan variasi di setiap dimensi sehingga kita dapat menariknya keluar dari persamaan bersama. Ini bisa dicapai sejak$\dot q_i = d_tq_i$ dan karenanya istilah terakhir dapat diintegrasikan oleh bagian-bagian untuk menghasilkan

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_i\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg\}\delta q_i + \delta q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg|^2_1 $$

Suku terakhir adalah suku batas dan ini lenyap karena penerapan bahwa variasi lenyap pada titik ini yaitu $\delta q=0$. Anda menghasilkan persamaan Euler-Lagrange setelah menerapkan solusi ekstrem saja$\delta S=0$.