Isotop dan isotop ambien

Question

Dalam catatan kuliah mata kuliah teori simpul saya, terdapat penjelasan yang sangat singkat mengapa kita membutuhkan isotop ambien, bukan hanya isotop. Ini menggunakan gambar berikut untuk mengilustrasikan tanpa penjelasan apa pun. Saya tidak mengerti mengapa tidak apa-apa membuat simpul menjadi tidak terikat saat isotop, tetapi tidak OK saat isotop ambien. Adakah yang bisa memberikan penjelasan intuitif?

Referensi

Answer 1

Ide dari diagram ini adalah untuk menunjukkan bahwa isotop di antara dua embeddings merupakan pengertian yang salah tentang kesetaraan simpul. Perhatikan bahwa simpul adalah embedding:

$k:S^1\to \mathbb{R}^3$ (atau lebih nyaman $\mathbb{S^3}$)

Diberikan dua simpul (embeddings) $k_0$ dan $k_1$, kami dapat membuat isotop embeddings:

$k_t:S^1\times [0,1] \to S^3$

sedemikian rupa untuk masing-masing $t\in [0,1]$, $k_t$ adalah embedding.

Untuk simpul jinak apapun kita dapat membuat isotop yang secara intuitif "menarik" bagian simpul dari simpul ke bawah ke suatu titik (seperti yang digambarkan). Untuk apapun$t<1$ simpul tidak berpotongan sendiri, dan untuk $t=1$embedding adalah yang unknot dan dengan demikian tidak berpotongan dengan sendirinya. Oleh karena itu, peta yang dijelaskan merupakan isotop embeddings. Namun, peta ini tidak dapat dibedakan (mulus)$t=1$. Untuk menghindari membuat semua simpul yang jinak setara, ukuran kesetaraan yang lebih sensitif diadopsi di mana isotop embeddings halus.

Untuk menyelaraskan hal ini dengan definisi standar kesetaraan simpul melalui isotop ambient, perlu dicatat bahwa setiap isotop halus embeddings terangkat ke isotop ambien.