Jalan identitas integral

Question

Saya membaca Metode Bidang Latar Belakang dalam Kuliah EPFL tentang GR sebagai EFT . Penulis menggunakan identitas ini pada Halaman 23, Persamaan (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$yang hanya merupakan integral Gaussian (jalur) standar. Tapi mereka terus menggunakan ini:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$yang saya tidak sepenuhnya mengerti. Apakah ini memanfaatkan$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? Jika demikian, mengapa ada integral di$\exp$ - bukankah seharusnya ada fungsi delta yang sesuai untuk 'membatalkan'?

Answer 1

1. Ya OP benar: Kuliah menggunakan integrasi jalur Gaussian dan identitas$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$di persamaan (174).

2. Selanjutnya perkuliahan menggunakan relasi kelengkapan $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ dan $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$di persamaan (174).

3. Jejak yang tersisa di kanan dari persamaan terakhir. (174) misalnya bisa menjadi jejak rasa, dan menunjukkan bahwa jejak dalam persamaan. (iii) hanya sebagian kecil .

Answer 2

Ya, Anda benar - identitas determinan-logaritim telah digunakan di atas. Adapun eksponensial, berikut (dari buku Kuantisasi Lapangan oleh Greiner, Reinhardt, bab 11, halaman no. 353) telah digunakan -
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

Bukti di atas juga diberikan di dalamnya. Itu$2\pi$kemungkinan besar sudah terserap dalam konstanta yang menyertainya. Ekspresi yang diberikan dalam pertanyaan Anda adalah (kemungkinan besar) merupakan integral aksi dalam formalisme Feynman (integral path) dan itulah mengapa$-i$ apakah ada - inti dari formalisme Feynman adalah bahwa tindakan dapat ditulis sebagai $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. Bersulang!