Jumlah minimum akar polinomial

Question

Untuk polinomial 𝑔 (𝑥) dengan koefisien nyata, misalkan $𝑚_𝑔$ menunjukkan jumlah akar nyata yang berbeda dari $𝑔(𝑥)$. Misalkan 𝑆 adalah himpunan polinomial dengan koefisien nyata yang ditentukan oleh$𝑆 =\{{(𝑥^2 − 1)^2(𝑎_0 +𝑎_1𝑥+𝑎_2𝑥^2 + 𝑎_3𝑥^3) ∶ 𝑎_0, 𝑎_1, 𝑎_2, 𝑎_3 ∈ ℝ}\}$Untuk polinomial 𝑓, misalkan 𝑓′ ​​dan 𝑓 ′ ′ masing-masing menunjukkan turunan orde pertama dan kedua. Kemudian nilai minimum yang mungkin sebesar$(𝑚_{𝑓′} + 𝑚_{𝑓′′})$, di mana 𝑓 ∈ 𝑆, adalah _____

Saya tahu bahwa akar tidak dapat diselesaikan secara individual tetapi dapat dipecahkan / ditemukan dengan membeli aplikasi teorema Rolle. Bagaimana kita menemukan jumlah akar minimum untuk derevatif pertama dan kedua

Answer 1

Sebagai $S={(x-1)}^2{(x+1)}^2(p(x))$ kita punya $(1,-1)$ adalah akar berulang !:$f'(1)=f'(-1)=0$

$f(1)=f(-1)=0$ karenanya $f'(k)=0$ untuk beberapa $k$ di $(-1,1)$.Juga $f'(-1)=f'(1)=0$(root berulang).

$f'(-1)=f'(k)=0$ karenanya ada beberapa $d$ di $(-1,k)$ $f''(d)=0$ sama-sama ada beberapa $m$ di $(k,1) $ untuk $f''(m)=0$.

dengan demikian jumlah akar minimum $f'$ adalah $3$: akar adalah $(-1,1,k)$

dan untuk $f''$ akarnya adalah:$(m,d)$

Jadi nilai minimumnya adalah 5