Jumlah minimum set partisi

Question

Membiarkan $A\neq \varnothing$ dan dilambangkan dengan $\operatorname{Part}(A)$ himpunan partisi $A$. Untuk$S,S' \in\operatorname{Part}(A),$ kami mengatur $$ S\leq S' :\!\!\iff \forall C \in S: \exists C'\in S': C\subseteq C'. $$

Membiarkan $T\subseteq \operatorname{Part}(A)$. Menunjukkan bahwa$T$ memiliki minimal sehubungan dengan $\leq$.

---

Saya sebenarnya ingin menunjukkan itu $$ \inf T = \left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : \forall S \in T, C_S\in S\right\}. $$

Apakah saya diizinkan untuk menulis ini tanpa menggunakan Aksioma Pilihan?

Jika tidak, cara lain apa yang bisa membuktikan keberadaannya $\inf T$, jika ada?

Answer 1

SKETCH: Untuk masing-masing $S\in\operatorname{Part}(A)$ dan $a\in A$ membiarkan $[a]_S$ menjadi bagian dari $S$ yang berisi $a$. Perhatikan itu$S\le S'$ iff $[a]_S\subseteq[a]_{S'}$ untuk setiap $a\in A$. Diberikan$T\subseteq\operatorname{Part}(A)$, untuk setiap $a\in A$ membiarkan $C_a=\bigcap_{S\in T}[a]_S$, dan biarkan $C=\{C_a:a\in A\}$.

• Menunjukkan bahwa $C\in\operatorname{Part}(A)$. Jelas itu$\bigcup C=A$, jadi Anda hanya perlu menunjukkan jika $a,b\in A$, dan $C_a\ne C_b$, kemudian $C_a\cap C_b=\varnothing$.

Jelas $C_a\subseteq[a]_S$ untuk setiap $S\in T$, jadi pada titik ini Anda bisa menyimpulkan itu $C\le S$ untuk setiap $S\in T$.

• Kemudian tunjukkan jika $L$ adalah batas bawah untuk $T$, kemudian $L\le C$. Anda dapat melakukan ini dengan menunjukkan bahwa jika$L$ adalah batas bawah untuk $T$, maka itu pasti benar $[a]_L\subseteq C_a$ untuk setiap $a\in A$.

Tak satu pun dari ini membutuhkan aksioma pilihan.

Answer 2

Membiarkan $X=\left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : C_S\in S\right\}.$ Perhatikan itu $X\in\operatorname{Part}(A)$.

Pertama-tama, kami tunjukkan itu $X\le S$, untuk semua $S\in T$. Membiarkan$L\in X$, kemudian $L=\bigcap_{S\in T} C_S$, dengan $C_S\in S$. Jelas,$L\subseteq C_S$ untuk semua $S\in T$, itu artinya $X\le S$ untuk semua $S\in T$. Begitu$X$ adalah batas bawah.

Sekarang kami tunjukkan itu $X$ adalah batas bawah terbesar, yaitu untuk semua $Y\in\operatorname{Part}(A)$ seperti yang $Y\le S$ untuk semua $S\in T$, $Y\le X$. Seharusnya$Y$ adalah elemen seperti itu, dan biarkan $M\in Y$. Sekarang, karena$Y\le S$, untuk semua $S\in T$, kita punya $M\subseteq C_S$, untuk beberapa $C_S\in S$, untuk semua $S\in T$. Jelas sekali$M\subseteq\bigcap_{S\in T}C_S$, dan $\bigcap_{S\in T}C_S\in X$. Begitu$Y\le X$, dan $X$ adalah minimum $T\subseteq\operatorname{Part}(A)$.