Jumlahkan koefisien binomial

Question

Saya ingin mengetahui apakah jumlah berikut memiliki bentuk tertutup: $$\sum_{j=0}^N{j+k-1\choose k-1}{N-j+k-1\choose k-1}$$

Saya mencoba menulis ulang jumlah tersebut sehingga saya dapat menggunakan bentuk identitas Vandermonde berikut: $$\sum_{m=0}^n{m\choose j}{n-m\choose k-j}={n+1\choose k+1}$$ tetapi saya tidak dapat mencapai hasil apa pun.

Answer 1

Petunjuk: Anda berbuat baik! Menggunakan apa yang Anda taruh di sana, Anda akan membutuhkannya$n-(j+k-1)=N-j+k-1$ menyiratkan $n=N+2k-2$ dan kamu juga punya itu $2k-2-(k-1)=k-1$ Jadi ambillah $k$ dalam persamaan kedua menjadi $2k-2.$