Kalkulus Integral, Sangat Kecil

Sep 05 2020

Untuk mengintegrasikan $y=f(x)$ dari $a$ untuk $b$ kami memecah fungsi menjadi persegi panjang kecil dengan lebar $dx$. Sehingga$n$persegi panjang ke-akan berada pada jarak $n\,dx$ dari $a$ di $x$-sumbu. Biarkanlah terjadi begitu$t$ persegi panjang antara $a$ dan $b$. Karena itu$b=a+t\,dx$. Tapi$t\,dx$ akan menjadi sangat kecil untuk bilangan bulat positif $t$karena sifat Infinitesimals. Jadi bagaimana itu akan mencapai$b$? Apakah saya memiliki kesalahpahaman tentang kalkulus dan infinitesimals?

Jawaban

11 Joe Sep 05 2020 at 13:42

Dalam bukunya Infinite Powers , Steven Strogatz menyebutkan persis masalah yang sedang Anda gambarkan ini. Dia mempertimbangkan perbedaan antara 'infinity lengkap' dan 'potensi infinity'. Saya akan segera membahas masalah khusus Anda, tetapi pertama-tama, saya akan menjelaskan masalah serupa yang membantu menentukan apa yang sedang terjadi.

Seperti yang Anda ketahui, pembagian dengan nol tidak diperbolehkan dalam matematika. Namun, banyak orang yang memiliki keyakinan salah itu$$ 1/0 = \infty $$Kenapa ini? Seorang matematikawan terlatih mungkin mencerca pernyataan di atas, tetapi sebenarnya itu sangat masuk akal; salah , tapi masuk akal. Lihatlah ini:\begin{align} 1/0.1&=10 \\ 1/0.01&=100 \\ 1/0.001&=1000 \\ 1/0.0001&=10000 \\ 1/0.00001&=100000 \\ &\,\,\,\vdots \end{align} Sebagai $x$ pendekatan $0$, $1/x$ mendekati tak terbatas. Karena itu,$1/0=\infty$. Tapi tunggu, bukan itu yang kami tunjukkan. Apa yang kami tunjukkan adalah sebagai$x$ semakin dekat dan dekat $0$, $1/x$menjadi lebih besar dan lebih besar. Ada perbedaan penting antara kedua pernyataan ini yang sering diabaikan dalam kursus pengantar kalkulus. Setelah Anda masuk ke kasus ini$1/0$, semua jenis paradoks muncul, dan dengan alasan yang bagus itu $1/0$tidak ditentukan . Namun, mengingat apa$1/0$mungkin atau mungkin tidak bukanlah latihan yang sepenuhnya tidak membuahkan hasil. Sebaliknya, ini mungkin mengungkapkan kepada kita salah satu alat terpenting dalam kalkulus: batas. Mari kita lihat grafik$y=1/x$:

Seperti yang Anda lihat,$1/x$ menembak ke kejauhan sebagai $x$ semakin dekat dan dekat $0$. Kami tidak bisa mengatakan apa$1/0$ adalah ; apa yang bisa kita katakan adalah sebagai$x$ semakin dekat dan dekat $0$, $1/x$menjadi lebih besar dan lebih besar. Ini secara resmi ditulis sebagai$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty $$ Tapi tunggu, itu juga kurang tepat! $1/x$ hanya mendekati tak terhingga * saat $x$ pendekatan $0$dari ujung positif. Bagaimana jika$x$ adalah angka negatif yang semakin dekat dan dekat $0$? Kemudian,$1/x$ pendekatan $-$tak terhingga. Mungkin kita bisa menulis itu$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\pm\infty $$tetapi ahli matematika menyukainya jika batasan memiliki satu nilai pasti. Oleh karena itu, kedua pernyataan di atas tidak benar, dan yang harus kami tulis adalah ini:$$ \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty \text{ and } \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty $$ (Kecil '$+$'tepat di sebelah $0$ menunjukkan bahwa kami sedang mempertimbangkan kasus di mana $x$ adalah angka positif yang mendekati $0$. Demikian juga, '$-$'berarti $x$ adalah angka negatif yang mendekati $0$.)

Jangan khawatir jika semua detail kecil tidak masuk akal bagi Anda. Coba ingat dua fakta utama ini:

Dalam kalkulus, ahli matematika bekerja dengan batasan .
Saat mencoba menghitung batas seperti $1/x$ sebagai $x$ pendekatan $0$, fakta bahwa $1/0$tidak ditentukan tidak ada di sini maupun di sana. Kami tidak mencoba mencari tahu apa yang terjadi ketika kami 'mencapai nol'. Sebaliknya, kita melihat apa yang terjadi saat kita semakin dekat$0$, baik dari arah positif maupun negatif. **

Sekarang mari kita bandingkan apa yang telah kita pelajari tentang batasan dengan apa yang kita pikir kita ketahui tentang infinitesimals. Masalah terbesar dengan konsep infinitesimal dalam pikiran saya adalah mereka menyarankan bahwa ada 'bilangan sekecil mungkin'. Sebenarnya, ketika kita bekerja dengan bilangan real standar, hal seperti itu tidak ada. Ini seharusnya sudah jelas secara intuitif: betapapun rendahnya Anda, Anda selalu bisa lebih rendah. Anda mungkin juga simpatik dengan gagasan itu$$ 1/\text{infinitesimal}=\infty $$Sekali lagi, ini bermasalah, paling tidak karena ia memperlakukan ketidakterbatasan seolah-olah itu sebuah angka. Oleh karena itu, kita harus sangat berhati-hati ketika seseorang menyebutkan kata 'sangat kecil', atau 'sangat kecil'. Seringkali ketika mereka melakukannya, mereka menggunakan istilah-istilah ini hanya sebagai singkatan dari batasan yang kita kerjakan sebelumnya. Misalnya, jika saya menulis 'as$x$ menjadi sangat kecil, $1/x$menjadi sangat besar ', maka ini akan menjadi agak ceroboh, tetapi ini juga akan secara umum dipahami oleh mereka yang ahli dalam dasar-dasar kalkulus. (Saya akan memperingatkan agar tidak menggunakan bahasa seperti itu.)

Di lain waktu ketika orang menyebutkan infinitesimals, mereka berbicara tentang analisis nonstandar, di mana gagasan tentang infinitesimal diformalkan. Tapi jangan sampai teralihkan. Sejauh yang saya ketahui, 'infinitesimals' tidak ada. Ini harus menjadi pandangan Anda juga. Meskipun infinitesimals mungkin menarik secara intuitif, kita harus selalu memastikan bahwa intuisi kita sejalan dengan kenyataan. Jika tidak, kami mencari masalah.

Akhirnya, kami sampai pada pertanyaan Anda. Jika saya mengerti benar, Anda bertanya tentang$$ \int_a^b f(x) \, dx $$Seperti yang telah Anda tunjukkan dengan benar, integral didasarkan pada pemisahan kurva menjadi banyak persegi panjang kecil, masing-masing dengan lebar tertentu. Sebut saja lebar ini$\Delta x$. Kita dapat memperkirakan area di bawah grafik sebagai$$ \sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Jangan putus asa jika ungkapan di atas terlihat asing bagi Anda. Artinya, setiap persegi panjang memiliki lebar tetap$\Delta x$. Panjang setiap persegi panjang bergantung pada tinggi kurva di setiap titik — itulah mengapa panjangnya$f(x)$, dimana $x$ adalah variabel asal $a$ untuk $b$. Dan tentu saja, aproksimasi berasal dari penjumlahan luas persegi panjang. Untuk memvisualisasikannya, berikut ini animasi yang diambil dari Wikipedia:

Seperti yang disarankan oleh animasi tersebut, perkiraannya menjadi lebih baik$\Delta x$ pendekatan $0$. Ini dimana$dx$Anda dapat membayangkan bahwa jika persegi panjang memiliki lebar yang sangat kecil, maka persegi panjang tersebut mendapatkan luas yang tepat. Secara historis,$dx$ memang digunakan dengan cara ini untuk mewakili perubahan yang sangat kecil $x$. Namun, standar ketelitian modern telah memberikan interpretasi ini$dx$sebagian besar sudah usang. Karena semua paradoks yang mereka buat, infinitesimals sebaiknya dihindari dalam matematika formal, setidaknya dalam konteks kalkulus 'standar'. Sebagai gantinya,$dx$harus dilihat sebagai bagian dari singkatan untuk ekspresi batas. Misalnya, jika$y=f(x)$, kemudian $dy/dx$ adalah singkatan dari $$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$Dalam hal ini integral, kita bisa membayangkan bahwa$$ \int_a^b f(x) \, dx $$ mewakili jumlah lebar persegi panjang kecil tak terhingga tak terhingga $dx$. Tapi bahkan hanya menulis ini membuatku ngeri. Fakta bahwa jumlah persegi panjang semakin besar tidak berarti bahwa ada banyak persegi panjang yang tak terhingga (oleh karena itu perbedaan antara 'tak terhingga potensial' dan 'tak terhingga aktual'). Dan menilai dari sentimen yang Anda ungkapkan dalam pertanyaan Anda, infinitesimals mungkin juga bukan pendekatan yang tepat untuk Anda. Anda benar sekali tentang paradoks nyata yang dibuat jika kita menafsirkan lebar setiap persegi panjang sebagai benar-benar 'sangat kecil'. Definisi formal dari integral menghindari masalah ini sepenuhnya dengan mendefinisikan$\int_a^b f(x) \, dx$sebagai batas dari jumlah luas persegi panjang sebagai$\Delta x$ pendekatan $0$: $$ \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Sebuah pola tampaknya telah muncul. Setiap kali Anda mendapati diri Anda berpikir tentang infinitesimals, pikirkan tentang batasan! Anda tidak perlu membuang intuisi Anda ke luar jendela — jika Anda menemukan infinitesimals berguna untuk membangun gambaran mental Anda tentang kalkulus, maka tidak bijaksana jika Anda menghapusnya. Sama meskipun, tidak pernah lupa apa yang benar-benar terjadi.

* Berhati-hatilah dengan frasa 'mendekati tak terbatas'. Ini memiliki arti yang sangat berbeda dengan 'mendekati$5$', katakan. Jika saya katakan$x$ mendekati tak terhingga, maka yang saya maksud hanyalah itu $x$semakin besar dan besar. Itu dia.

** Dalam kasus khusus ini, batas 'tidak ada', karena kami mendapatkan dua jawaban berbeda: $+\infty$ dan $-\infty$, tergantung pada apakah kita mendekat $0$dari 'di atas' atau 'di bawah'. Oleh karena itu, kita harus membatasi diri untuk mempertimbangkan kasus dimana$x$ pendekatan $0$ semata-mata dari ujung positif, atau semata-mata dari ujung negatif.