Kedermawanan embeddings setara

Question

Saya ingin mengajukan versi yang setara dari pertanyaan ini .

Membiarkan $M$ menjadi manifold tertutup yang dilengkapi dengan aksi kelompok Lie yang kompak $G$. Dengan teorema penyematan Mostow-Palais,$M$ dapat disematkan secara samar-samar ke dalam $\mathbb{R}^n$ untuk beberapa $n$, dimana $G$ diwujudkan sebagai subkelompok $GL(n,\mathbb{R})$.

Pertanyaan samar: Misalkan$f:M\to\mathbb{R}^n$ adalah kontinu $G$peta -equivariant. Saya ingin tahu seberapa dekat$f$ adalah penyematan, jika kita diizinkan untuk membuatnya $n$ terlalu besar.

Satu upaya untuk membuat frasa yang lebih tepat:

Pertanyaan 1: Biarkan$f:M\to\mathbb{R}^n$ menjadi kontinu $G$peta -equivariant. Apakah benar itu (dengan asumsi$n$ cukup besar) untuk semua $\epsilon>0$, ada yang berkelanjutan $G$embedding -equivariant $f':M\to\mathbb{R}^n$ sedemikian rupa sehingga gambar $f'$ terkandung di dalam $\epsilon$-Bola di sekitar gambar $f$?

Secara lebih umum:

Pertanyaan 2: Bagaimana jika$G$ adalah grup linier non-kompak tetapi hasil bagi $G\backslash M$ apakah kompak?

Answer 1

Wasserman ( Equivariant Differential Topology , Topology, 8 (1969), hlm. 127-150) membuktikan teorema embedding Whitney yang digeneralisasikan dengan asumsi bahwa$G$ kompak.

Di bawah ini Anda dapat menemukan pernyataan dari salah satu teorema nya (Korolary 1.10 dalam makalah yang disebutkan di atas).

Def . Membiarkan$V$ menjadi representasi dimensi terbatas dari $G$. SEBUAH$G$-berjenis $M$adalah bawahan untuk$V$ jika $\forall x \in M \exists U$ lingkungan invarian dari $x$ dan penyematan halus yang setara $U\to V^k $ untuk beberapa $k>0$.

Thm (Wasserman) Jika$M^n$ adalah bawahan $V$, lalu peta mulus yang setara $f:M\to V^k$ bisa diperkirakan $C^r$ dan seragam dengan pencelupan equivariant if $k\geq 2n$ dan perendaman 1-1 setara jika $k\geq 2n+1$. Jika$C$ adalah himpunan bagian tertutup dari $M$, dan $f|C$ merupakan pencelupan (atau embedding) yang perkiraannya dapat dipilih untuk disetujui $f$ di $C$.