Kelompok ext $\mathbb{Z}[1/p]$

Question

Saya mencoba menghitung $\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}[1/p],\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$.

Sekarang saya memiliki resolusi proyektif $$0\rightarrow \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\alpha} \mathbb{Z}\oplus \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\beta} \mathbb{Z}[1/p]\rightarrow 0 .$$ Peta $\alpha$ diberikan oleh $(a_i)_{i>0}\mapsto (-\Sigma a_i, a_ip^i)$ dan $\beta$ diberikan oleh $(b_i)_{i\geq 0}\mapsto \Sigma_{i\geq 0} b_i/p^i$.

Sekarang terapkan $\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Z})$, Saya ingin menghitung kernel dari peta ganda $\prod_{i>1}\mathbb{Z}\xleftarrow{\alpha^*} \mathbb{Z}\prod (\prod_{i>1} \mathbb{Z})$ yang diberikan oleh $(f_0,0,\dots)\mapsto f_0'$ dan $(0,\dots,f_i,\dots )\mapsto (0,\dots,p^if_i,\dots )$, dimana $f_0': \prod_{i>1}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, $f_0'((a_i))=f_0(\Sigma a_i)$. Apakah ada cara untuk melihat apa itu kernel dan bagaimana hasil bagi$\prod_{i>1} \mathbb{Z}$ dengan kernel ini $\mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$?

Answer 1

Mari kita lakukan ini dengan resolusi injeksi. Saya akan menulis$A$ untuk $\Bbb Z[1/p]$. Kemudian$$0\to\Bbb Z\to\Bbb Q\to\Bbb Q/\Bbb Z\to0$$ memberikan resolusi suntik $\Bbb Z$. Karena itu$\text{Ext}^1(A,\Bbb Z)$ adalah kokernel dari $$\text{Hom}(A,\Bbb Q)\to\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z).$$ Sangat mudah untuk melihatnya $\text{Hom}(A,\Bbb Q)\cong\Bbb Q$ melalui $f\mapsto f(1)$. Apa itu elemen$\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z)$? Ini dijelaskan sepenuhnya oleh$f(1/p^k)=a_k+\Bbb Z$ dimana $a_k\in\Bbb Q$ dan $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$. Gambar$\text{Hom}(A,\Bbb Q)$ terdiri dari mereka $f$ dimana $f(1/p^k)=a/p^k$ untuk beberapa $a\in\Bbb Q$. Kita dapat mengurangi salah satunya dari umum$f$ dan asumsikan itu $a_0=0+\Bbb Z$ dan kemudian diam $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$. Kemudian$a_k=b_k/p^k$ dimana $b_k\in\Bbb Z$ dan $b_k$ didefinisikan modulo $p^k$; juga$b_{k+1}\equiv b_k \pmod{p^k}$. Jadi$(b_k)$ mewakili sebuah elemen $b$ dari $p$bilangan bulat -adic $\Bbb Z_p$.

Kami masih memiliki kebebasan dalam memilih $a$; kita butuh$a+\Bbb Z=f(0)+\Bbb Z$, jadi kita masih bisa berubah $a$ dengan bilangan bulat, yang berubah $b$dengan bilangan bulat. Jadi cokernel bersifat isomorfik$\Bbb Z_p/\Bbb Z$.

Saya yakin semua ini dapat dilakukan dengan batas langsung dan terbalik ....