Kelompok genus Fuchsian positif
Membiarkan $G$ menjadi kisi $SL(2,\mathbb{R})$. Apakah selalu benar bahwa terdapat subkelompok indeks hingga$F$ dari $G$ sedemikian rupa sehingga permukaan hasil bagi $\mathbb{H}/F$memiliki genus positif? Apakah pernyataan tersebut benar menurut asumsi yang cukup umum? Tolong bisakah Anda menambahkan referensi?
Jawaban
Ya, ini benar, tetapi membuktikan ini lebih mudah daripada mencari referensi.
Setiap grup matriks yang dihasilkan secara tak terbatas (misalnya, kisi dalam format $PSL(2, {\mathbb R})$berisi subkelompok bebas torsi. Hasil umum disebabkan oleh Selberg, tetapi untuk subgrup terpisah dari$PSL(2, {\mathbb R})$ itu pasti sudah diketahui sebelumnya.
Mengingat 1, cukup untuk membuktikan bahwa setiap permukaan $S$ homeomorfik ke bola 2 dimensi dengan $n\ge 3$ tusukan mengakui penutup yang terbatas $S'\to S$ seperti yang $S'$memiliki genus positif. Misalkan dulu$n$aneh. Tusukan di sekeliling$p_i$ dengan loop kecil $c_i$. Saya akan menganggap ini sebagai elemen$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Sekarang, pertimbangkan homomorfisme$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ dimana panah pertama adalah Hurewicz dan yang kedua mengirimkan $[c_1], [c_2]$ untuk $1$ dan sisanya $[c_i]$untuk $0$. Ambil penutup 2 kali lipat$S_1\to S$ sesuai dengan kernel $\alpha$. Kemudian$S_1$ aku s $2+ 2(n-2)$-kali bola tertusuk. Jadi, masalahnya dikurangi menjadi kasus bola dengan jumlah tusukan genap.
Membiarkan $S$ menjadi $S^2$ dengan $n=2k\ge 4$tusukan. Sama halnya dengan (2), definisikan homomorfisme$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
dimana panah kedua mengirimkan semuanya $[c]_i$ke elemen bukan nol dari ${\mathbb Z}_2$. Membiarkan$S'\to S$ menunjukkan penutup 2 kali lipat yang sesuai dengan kernel $\beta$. Kemudian$S'$ akan memiliki $2k$ tusukan dan genus $k-1>0$. (Ini adalah latihan dalam topologi permukaan. Perpanjangan alami dari$S'\to S$ke penutup bercabang dari permukaan kompak disebut peta penutup hyperelliptic .)
Edit. 1. Jika Anda menginginkan referensi, hasil yang optimal ada
Edmonds, Allan L .; Ewing, John H .; Kulkarni, Ravi S. , subkelompok bebas torsi dari kelompok Fuchsian dan tessellations permukaan , Invent. Matematika. 69, 331-346 (1982). ZBL0498.20033 .
Dapat dikatakan sebagai: Misalkan $F_1, F_2$ adalah kisi-kisi $G=PSL(2, {\mathbb R})$. Kemudian$F_2$ sematkan di $F_1$ (sebagai grup abstrak) dengan index $k$jika dan hanya jika kondisi Riemann-Hurwitz terpenuhi:$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Setelah Anda mengungkap definisi, ini menyiratkan jawaban positif untuk pertanyaan genus positif.
- Untuk menerapkan hasil mereka, seseorang perlu tahu (dan mereka menerima begitu saja) bahwa setiap kisi masuk $G$ memiliki presentasi $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Presentasi ini dapat ditemukan di makalah Poincare tentang fungsi Fuchsian. Sulit untuk mengatakan apakah dia benar-benar memiliki bukti (ini berlaku untuk hampir semua yang ditulis oleh Poincare yang saya coba baca, tetapi orang lain mungkin tidak setuju), tetapi dia memiliki alat untuk membuktikan hasilnya, yaitu domain fundamental cembung. Bukti yang lebih kuat mungkin ditemukan di makalah Dehn (saya tidak mencoba). Referensi solid paling awal yang saya tahu tentang keberadaan satu set pembangkit hingga kisi-kisi$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ aku s
Siegel, Carl Ludwig , Beberapa komentar tentang kelompok yang tidak berkesinambungan , Ann. Matematika. (2) 46, 708-718 (1945). ZBL0061.04505 .
Tidak mengherankan, Siegel menggunakan poligon fundamental untuk membuktikan hasilnya: Ia membuktikan keberadaan poligon fundamental bersisi-hingga dan, sebagai konsekuensinya, menyimpulkan batas atas eksplisit pada jumlah generator dalam kaitannya dengan luas area hasil bagi. ${\mathbb H}^2/\Gamma$. Teorema finiteness ini memiliki keumuman yang jauh lebih besar, untuk kisi-kisi dalam kelompok Lie yang terhubung, tetapi ini adalah cerita lain (yang juga memiliki sejarah yang rumit sampai-sampai tidak jelas siapa yang harus dikreditkan dengan hasil ini, yang jelas fundamental,). Satu hal, yang saya tidak yakin adalah:
Sementara keberadaan himpunan hingga untuk kisi-kisi dalam grup Lie yang terhubung diketahui, saya tidak tahu referensi yang kuat ke batas atas eksplisit pada jumlah generator dalam hal volume hasil bagi (dalam kasus bebas non-torsi) .
- Mengenai "Fenchel's Conjecture" yang masing-masing kisi masuknya $G=PSL(2, {\mathbb R})$berisi subkelompok indeks hingga bebas torsi: Ceritanya agak aneh. Ketika dugaan pertama kali dinyatakan sulit / tidak mungkin untuk diceritakan. Itu disebutkan dalam makalah Nielsen
J. Nielsen, Kommutatorgruppen for det frie productt af cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), hlm.49-56.
Makalah Nielsen, secara luar biasa, tidak mengandung referensi apa pun.
Namun, pada saat kemunculan makalah Nielsen, dugaan Fenchel sudah terbukti. Buktinya sebagian besar terkandung dalam:
Mal'tsev, AI , Tentang representasi setia grup tak terbatas berdasarkan matriks , Am. Matematika. Soc., Transl., II. Ser. 45, 1-18 (1965); terjemahan dari Mat. Sb., N. Ser. 8 (50), 405-422 (1940). ZBL0158.02905 .
Sekarang, setiap kisi $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ dihasilkan secara halus dan hanya berisi banyak yang terbatas $\Gamma$kelas -konjugasi dari elemen orde hingga. (Ini, paling tidak, berasal dari teorema Siegel tentang poligon fundamental yang, seperti yang saya katakan, kemungkinan besar diketahui oleh Poincare.) Teorema Mal'tsev menyiratkan bahwa jika$\Gamma$ adalah grup matriks yang dihasilkan secara terbatas, lalu untuk setiap koleksi nontrivial hingga $\Gamma$kelas -conjugacy $C_1,...,C_k$, terdapat subkelompok indeks-hingga $\Gamma'< \Gamma$ terputus dari $C_1,...,C_k$. Dengan menggabungkan dua hasil, setiap kisi masuk$G=PSL(2, {\mathbb R})$ berisi subkelompok indeks hingga bebas torsi.
Solusi lengkap dari dugaan Fenchel diklaim oleh Fox
Fox, Ralph H. , Pada dugaan Fenchel tentang (F) -groups, Mat. Tidsskr. B 1952, 61-65 (1952). ZBL0049.15404 .
yang jelas-jelas tidak tahu tentang makalah Mal'tsev. Solusi Fox ternyata salah sebagian, dengan kesalahan (dalam salah satu kasus) diperbaiki di:
Chau, TC , Catatan tentang makalah Fox tentang dugaan Fenchel , Proc. Saya. Matematika. Soc. 88, 584-586 (1983). ZBL0497.20035 .
Pada saat itu (23 tahun sebelumnya), Selberg membuktikan hasil yang lebih umum dalam:
Selberg, Atle , Pada kelompok terputus-putus dalam ruang simetris berdimensi lebih tinggi, Contrib. Teori Fungsi, Int. Bahasa sehari-hari. Bombay, Januari 1960, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .
Selberg membuktikan bahwa setiap grup matriks yang dihasilkan hingga berisi subgrup indeks hingga yang bebas torsi. Selberg juga tidak mengetahui makalah Mal'tsev, tetapi setidaknya dia tidak memperbaiki sesuatu yang sudah ada di sana. Masalahnya adalah bahwa grup matriks yang dihasilkan tidak terbatas$\Gamma$ dapat memiliki banyak sekali $\Gamma$-kelas konjugasi dari subgrup terbatas, oleh karena itu, seseorang tidak bisa begitu saja menerapkan hasil Mal'tsev.
Komentar untuk Langkah (1) dalam pembuktian Moishe Kohan. Masalah ini (menemukan indeks terbatas, subkelompok bebas torsi dari kisi dalam$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) disebut "Dugaan Fenchel". Itu diselesaikan oleh Ralph H. Fox. Lihat makalahnya:
Tentang Dugaan Fenchel tentang Grup-F
dan pekerjaan selanjutnya (untuk bukti lain, dan untuk koreksi pada pekerjaan sebelumnya).