Kemungkinan berada dalam kelompok di dalam tim

Question

Sudah lama aku tidak bersekolah, jadi matematikaku sangat berkarat.
Ada permainan yang telah saya mainkan di mana ada sekelompok sepuluh pemain, dan dua dipilih secara acak sebagai "penipu".
Berapa probabilitas bahwa saya akan dipilih sebagai salah satu penipu?

Saya beralasan sebagai:
Jumlah cara bagi saya untuk menjadi penipu =$\binom{1}1$.
Jumlah cara orang kedua untuk dipilih sebagai penipu =$\binom{9}1$.
Total ruang sampel =$\binom{10}2\binom{8}8$.

Jadi kemungkinan bahwa saya seorang penipu $$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$

Saat aku melihat $m$ penipu dan $n$ pemain, saya menggunakan logika yang sama untuk mendapatkan probabilitas akhir $\frac{m}{n}$. Untuk beberapa alasan saya tidak mengharapkan hasil ini (bahwa itu hanya akan menjadi rasio datar). Apakah ada intuisi untuk ini? Saya berharap hasilnya kurang dari$m/n$, karena tampaknya ada begitu banyak permutasi yang harus dipilih tim $m$ penipu, (misalnya, jika $m = 10$, $n = 140$)

Answer 1

Pembilangnya salah: Anda sedang mencari cara di mana Anda menjadi salah satu penipu. Ada 9 kemungkinan yaitu Anda dan orang lain, di mana orang lain dipilih di antara 9 orang tersebut. Perhatikan bahwa urutan Anda dan orang lain tidak penting, jadi cukup untuk memilih orang lain.

Edit: Secara umum, Anda punya $n$ orang (termasuk Anda) dan $m$ penipu.

Kemungkinan bahwa Anda seorang penipu adalah: $\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. Pembilang lagi-lagi adalah jumlah penipu kecuali Anda, dan penyebutnya lagi-lagi merupakan pilihan penipu tanpa ada batasan lebih lanjut.

Ini, menurut saya sebenarnya sangat intuitif - m dari n orang adalah penipu, jadi Anda punya $m/n$kemungkinan menjadi penipu. Ini seperti "1 dari 300 orang mengidap Coronavirus, jadi kemungkinan Anda mengidapnya (dari sudut pandang yang sangat obyektif - saya sama sekali tidak mengenal Anda) adalah 1/300.