Kenapa $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

Misalkan A adalah matriks non-persegi. Mengapa persamaan berikut ini benar?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

Mencoba:

Karena nilai eigen dari matriks persegi $X$, adalah kebalikan dari nilai eigen $X^{-1}$, kita punya:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Saya memiliki yang berikut ini:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

Apa yang ingin Anda buktikan cukup sederhana dan berlaku untuk semua matriks kuadrat, bukan hanya yang bentuknya $A^TA$. $\nu$ adalah nilai eigen dari $P$ iff $1-\nu$ adalah nilai eigen dari $I-P$. Jadi, nilai eigen apa pun dari$I-P$ adalah dari bentuknya $\nu=1-\lambda$ dimana $\lambda$ adalah nilai eigen dari $P$. Mengambil minimal,$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ sejak $1-\lambda$ diminimalkan saat $\lambda$ maksimal.